Question

已知函數(shù)（、為常數(shù)），在時取得極值.
（1）求實數(shù)的值；
（2）當時，求函數(shù)的最小值；
（3）當時，試比較與的大小并證明.

Answer 1

（1）；（2）取最小值；（3）．

試題分析：（1）因為函數(shù) （、為常數(shù)），在時取得極值，故，因此，先對函數(shù)求導得，，由可得實數(shù)的值；（2）當時，求函數(shù)的最小值，當時，由得，代入得 ，對求導，判斷單調(diào)性，即可得函數(shù)的最小值；（3）比較與的大小，直接比較不好比較，可比較對數(shù)的大小即與，兩式作差得，只需判斷它的符號，即判斷的符號，即判斷的符號，可構造函數(shù)，證明即可．
試題解析：（1） 
∴        （3分）
（2）時 
 ， 
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增       （6分）

∴當時，取最小值           （8分）
（3）令 
   ，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增  ，∴ 當且僅當時取最小值
∵ ∴ 
∴ ∴
∴  ∴       （14分）