【題目】已知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）求實數(shù)的值，并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：．

【答案】（1），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解．

（2）要證明原不等式成立，可轉(zhuǎn)化為證明求解相應(yīng)函數(shù)的范圍，進(jìn)行合理的變形后構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可證．

解：（1）函數(shù)的定義域為.，由題意可得，e，故a，.

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）證明：設(shè)，則.

當(dāng)x時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故.

設(shè)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故.

綜上可得，時，恒有，即．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)是（ ）

A.90B.120C.210D.216

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，上頂點為M，過點M且斜率為的直線與交于另一點N，過原點的直線l與交于P，Q兩點

（1）求周長的最小值：

（2）是否存在這樣的直線，使得與直線平行的弦的中點都在該直線上?若存在，求出該直線的方程：若不存在，請說明理由.

（3）直線l與線段相交，且四邊形的面積，求直線l的斜率k的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了提高生產(chǎn)線的運行效率，工廠對生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行了技術(shù)改造.為了對比技術(shù)改造后的效果，采集了生產(chǎn)線的技術(shù)改造前后各20次連續(xù)正常運行的時間長度（單位：天）數(shù)據(jù)，并繪制了如下莖葉圖：

（Ⅰ）（1）設(shè)所采集的40個連續(xù)正常運行時間的中位數(shù)，并將連續(xù)正常運行時間超過和不超過的次數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過

不超過

改造前

改造后

試寫出，，，的值；

（2）根據(jù)（1）中的列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為生產(chǎn)線技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運行時間有差異？

附：，

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

（Ⅱ）工廠的生產(chǎn)線的運行需要進(jìn)行維護(hù).工廠對生產(chǎn)線的生產(chǎn)維護(hù)費用包括正常維護(hù)費、保障維護(hù)費兩種對生產(chǎn)線設(shè)定維護(hù)周期為天（即從開工運行到第天（）進(jìn)行維護(hù).生產(chǎn)線在一個生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個維護(hù)周期，每個維護(hù)周期相互獨立.在一個維護(hù)周期內(nèi)，若生產(chǎn)線能連續(xù)運行，則不會產(chǎn)生保障維護(hù)費；若生產(chǎn)線不能連續(xù)運行，則產(chǎn)生保障維護(hù)費.經(jīng)測算，正常維護(hù)費為0.5萬元次；保障維護(hù)費第一次為0.2萬元周期，此后每增加一次則保障維護(hù)費增加0.2萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)線一個生產(chǎn)周期（以120天計）內(nèi)的維護(hù)方案：，，2，3，4.以生產(chǎn)線在技術(shù)改造后一個維護(hù)周期內(nèi)能連續(xù)正常運行的頻率作為概率，求一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費的分布列及期望值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F分別是棱C1D1，B1C1的中點，P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點，若AP∥平面BDEF，則線段AP長度的取值范圍是（ ）

A.[，]B.[，]C.[，]D.[，]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）

A.函數(shù)的最小正周期為，在上單調(diào)遞增

B.函數(shù)的最小正周期為，在上單調(diào)遞增

C.函數(shù)的最小正周期為，在上單調(diào)遞增

D.函數(shù)的最小正周期為，在上單調(diào)遞增

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市積極貫徹落實國務(wù)院《“十三五”節(jié)能減排綜合工作方案》，空氣質(zhì)量明顯改善.該市生態(tài)環(huán)境局統(tǒng)計了某月（30天）空氣質(zhì)量指數(shù)，繪制成如下頻率分布直方圖.已知空氣質(zhì)量等級與空氣質(zhì)量指數(shù)對照如下表：

空氣質(zhì)量指數(shù)

300以上

空氣質(zhì)量等級

一級

（優(yōu)）

二級

（良）

三級

（輕度污染）

四級

（中度污染）

五級

（重度污染）

六級

（嚴(yán)重污染）

（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計，在這30天中，空氣質(zhì)量等級為優(yōu)或良的天數(shù)；

（2）根據(jù)體質(zhì)檢查情況，醫(yī)生建議：當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)高于90時，市民甲不宜進(jìn)行戶外體育運動；當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)高于70時，市民乙不宜進(jìn)行戶外體育運動（兩人是否進(jìn)行戶外體育運動互不影響）.

①從這30天中隨機選取2天，記乙不宜進(jìn)行戶外體育運動，且甲適宜進(jìn)行戶外體育運動的天數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②以該月空氣質(zhì)量指數(shù)分布的頻率作為以后每天空氣質(zhì)量指數(shù)分布的概率（假定每天空氣質(zhì)量指數(shù)互不影響），甲、乙兩人后面分別隨機選擇3天和2天進(jìn)行戶外體育運動，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜進(jìn)行戶外體育運動的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝2．

（1）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）曲線C2上兩點與點B（ρ2，α），求△OAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年春節(jié)前后，一場突如其來的新冠肺炎疫情在全國蔓延.疫情就是命令，防控就是責(zé)任.在黨中央的堅強領(lǐng)導(dǎo)和統(tǒng)一指揮下，全國人民眾志成城、團結(jié)一心，掀起了一場堅決打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的人民戰(zhàn)爭.下側(cè)的圖表展示了2月14日至29日全國新冠肺炎疫情變化情況，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（ ）

A.16天中每日新增確診病例數(shù)量呈下降趨勢且19日的降幅最大

B.16天中每日新增確診病例的中位數(shù)大于新增疑似病例的中位數(shù)

C.16天中新增確診、新增疑似、新增治愈病例的極差均大于

D.19日至29日每日新增治愈病例數(shù)量均大于新增確診與新增疑似病例之和

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