Question

【題目】已知圓，圓心為，定點(diǎn)， 為圓上一點(diǎn)，線段上一點(diǎn)滿足，直線上一點(diǎn)，滿足．

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）為坐標(biāo)原點(diǎn)， 是以為直徑的圓，直線與相切，并與軌跡交于不同的兩點(diǎn)．當(dāng)且滿足時(shí)，求面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由題意可得為線段中點(diǎn)， 為線段的中垂線，則， 的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，據(jù)此可求得點(diǎn)的軌跡的方程為.

（Ⅱ）直線與圓相切，則，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得.滿足題意時(shí)，則，設(shè)， ，由韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，則△ABO的面積，換元令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)可得面積的取值范圍為.

試題解析：

（Ⅰ），∴為線段中點(diǎn)

∵， ∴為線段的中垂線

∴

∵

∴由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

則， ，

∴，

∴點(diǎn)的軌跡的方程為.

（Ⅱ）∵圓與直線相切，

∴，即，

由，消去.

∵直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，

∴，

將代入上式，可得，

設(shè)， ，

則， ，

∴ ，

∴

∴ ，

∵，解得.滿足.

又，

設(shè)，則.

∴ ，

∴

故面積的取值范圍為.