Question

下列命題中正確的是

③④

（填上你認(rèn)為所有正確的選項(xiàng)）
①空間中三個平面α，β，γ，若α⊥β，γ⊥β，則α∥γ
②空間中兩個平面α，β，若α∥β，直線a與α所成角等于直線b與β所成角，則a∥b．
③球O與棱長為a正四面體各面都相切，則該球的表面積為

π

6

a²；
④三棱錐P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，則PC⊥AB．

Answer 1

分析：①根據(jù)面面垂直的幾何特征可以判斷真假，也可舉反例說明；
②a與b平行或異面，平行是兩個角的方向相同，異面是兩個角的方向不同，從而可判定②的真假
③作出正四面體的圖形，球的球心位置，說明OE是內(nèi)切球的半徑，利用直角三角形，逐步求出內(nèi)切球的表面積，從而可判定③的真假；
④設(shè)P在面ABC的射影為P′，然后利用三垂線定理可證明．

解答：解：①若α⊥γ，β⊥γ，則平面α與平面β可能平行也可能相交，如一本書打開立在桌面上此時兩平面相交，故①錯誤；
②空間中兩個平面α，β，若α∥β，直線a與α所成角等于直線b與β所成角，則a與b平行或異面，平行是兩個角的方向相同，異面是兩個角的方向不同，故②不正確；
③如圖O為正四面體ABCD的內(nèi)切球的球心，正四面體的棱長為：a；
所以O(shè)E為內(nèi)切球的半徑，BF=AF=

3 a

2

BE=

3 a

3

，所以AE=

a2-( 3 a 3 )2

=

6 a

3

，
BO²-OE²=BE²，（

6 a

3

-OE）²-OE²=（

3 a

3

）²
所以 OE=

6 a

12

球的表面積為：4π•OE²=

π

6

a²故③正確；
④設(shè)P在面ABC的射影為P′
∵PA⊥BC，PB⊥AC
∴P′A⊥BC，P′B⊥AC
連接P′C
∵三角形的三個高相交于一點(diǎn)
∴P′C⊥AB
∴PC⊥AB故④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評：本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，正四面體的內(nèi)切球的表面積，是一道典型題目，考試�？碱}，考查空間想象能力，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．