Question

已知p：方程

x2

k+1

+

y2

2-2k

=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓； q：直線y-1=k（x+2）與拋物線y²=4x有兩個(gè)公共點(diǎn)．若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)方程表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，可得x²、y²的分母均為正數(shù)，且y²的分母較大，由此建立關(guān)于k的不等式，解之即得k的取值范圍．再把直線方程代入拋物線方程消去x，求得方程得判別式，分別根據(jù)判別式大于0，求得k的范圍．由復(fù)合命題的真值表，結(jié)合p∨q為真，p∧q為假，可得p和q一真一假，分類討論后可得k的取值范圍．

解答：解：∵方程

x2

k+1

+

y2

2-2k

=1，表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，
∴2-2k＞1+k＞0，解不等式得-1＜k＜

1

3

，
故若p為真命題，則：-1＜k＜

1

3

，

y-1=k(x+2) y2=4x

消去x得

k

4

y²-y+2k+1=0
△=4-k（2k+1）＞0，即-1＜k＜0或0＜k＜

1

2

，
即-1＜k＜0或0＜k＜

1

2

時(shí)，直線與拋物線有二個(gè)公共點(diǎn)；
若q為真命題，則：-1＜k＜0或0＜k＜

1

2

，
又p∨q為真，p∧q為假，所以p和q一真一假．
即p為真，q為假；或p為假，q為真．
∴得k=0或-

1

3

＜k＜

1

2

．
∴k的取值范圍是k=0或-

1

3

＜k＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查含有字母參數(shù)的方程表示橢圓，直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，復(fù)合命題的真假判斷．屬于基礎(chǔ)題．