Question

在邊長為a的正方形ABCD中，M，N分別為DA、BC上的點，且MN∥AB，連結AC交MN于點P，現(xiàn)沿MN將正方形ABCD折成直二面角．
（1）求證：無論MN怎樣平行移動（保持MN∥AB），∠APC的大小不變并求出此定值；
（2）當MN在怎樣的位置時，M點到面ACD的距離最大？

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）首先根據(jù)勾股定理求出相關的線段長，進一步利用余弦定理求得∠APCD的余弦值為定值．
（2）利用點到平面的距離，求出ME，進一步利用均值不等式求出結果．

解答： （1）證明：在邊長為a的正方形ABCD中，M，N分別為DA、BC上的點，且MN∥AB，連結AC交MN于點P，現(xiàn)沿MN將正方形ABCD折成直二面角．
設MC=x，（0＜x＜a）根據(jù)AC平分∠DAB得到：PN=x，MP=a-x，MA=a-x，AN=

a2+(a-x)2

，
AP=

2

(a-x)
PC=

2

x
進一步在△APC中利用余弦定理：cos∠APC=

AP2+PC2-AC2

2AP•PC

=-

1

2

所以：無論MN怎樣平行移動（保持MN∥AB），∠APC的大小不變．此定值為-

1

2

．
（2）由圖形可知：MN∥平面ACD
過M作ME⊥平面ACD，設MD=x
利用面積相等得：ME=

x(a-x)

x2+(a-x)2

=

1

1 x2 + 1 (a-x)2

≤

x(a-x)

2

≤

a 2

2

=

2 a

4

（當且僅當x=

a

2

時）
即：當M在中點時，M點到面ACD的距離最大．

點評：本題考查的知識要點：折疊問題在立體幾何中的應用，余弦定理得應用，勾股定理得應用，均值不等式的應用及相關的運算問題．