Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-alnx-bx+2，a，b∈R．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y=2，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若函數(shù)f（x）有2個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，求證：a•f′(

x1+x2

2

)≥0．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y=2，可得f（1）=2，f′（1）=0，從而可求出實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）有2個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，則

x

2 1

-alnx1-bx1+2=0，

x

2 2

-alnx2-bx2+2=0，將兩式作差表示出x₁+x₂，求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），從而得到a•f′(

x1+x2

2

)，然后利用換元法以及函數(shù)的單調(diào)性判斷符號(hào)即可．

解答：解：（1）由題意得：

f(1)=2 f′(1)=0

，即

1-b+2=2 2-a-b=0

，
∴a=1，b=1；
（2）由于x₁，x₂是f（x）的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可設(shè)x₁＜x₂，且

x

2 1

-alnx1-bx1+2=0，

x

2 2

-alnx2-bx2+2=0，
兩式相減，可得：x1+x2=

a(lnx2-lnx1)

x1-x2

+b，
又f′(x)=2x-

a

x

-b，
從而f′(

x1+x2

2

)=x1+x2-b-

2a

x1+x2

=

a(lnx2-lnx1)

x2-x1

-

2a

x1+x2

=

a

x2-x1

[lnx2-lnx1-

2(x2-x1)

x2+x1

]=

a

x2-x1

[ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

]，
令t=

x2

x1

(t＞1)，g(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

，則g′(t)=

1

t

-

4

(1+t)2

=

(1-t)2

t(1+t)2

＞0，
則g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，從而g（t）＞g（1）=0，
∴af′(

x1+x2

2

)=

a2

x2-x1

g(t)≥0．
故a•f′(

x1+x2

2

)≥0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點(diǎn)處的切線，以及函數(shù)的零點(diǎn)，同時(shí)考查了分析問(wèn)題的能力和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．