Question

（2011•莆田模擬）如圖（1），在直角梯形ACC₁A₁中，∠CAA₁=90°，AA₁∥CC₁，AA₁=4，AC=3，CC₁=1，點(diǎn)B在線段AC上，AB=2BC，BB₁∥AA₁，且BB₁交A₁C₁于點(diǎn)B₁．現(xiàn)將梯形ACC₁A₁沿直線BB₁折成二面角A-BB₁-C，設(shè)其大小為θ．
（1）在上述折疊過程中，若90°≤θ≤180°，請(qǐng)你動(dòng)手實(shí)驗(yàn)并直接寫出直線A₁B₁與平面BCC₁B₁所成角的取值范圍．（不必證明）；
（2）當(dāng)θ=90°時(shí)，連接AC、A₁C₁、AC₁，得到如圖（2）所示的幾何體ABC-A₁B₁C₁，
（i）若M為線段AC₁的中點(diǎn)，求證：BM∥平面A₁B₁C₁；
（ii）記平面A₁B₁C₁與平面BCC₁B₁所成的二面角為α（0＜α≤90°），求cosa的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)變換過程可直接得角的范圍為：(0，

π

4

]；
（2）（i）先根據(jù)條件得到BB₁⊥平面ABC以及AC⊥BC；建立空間直角坐標(biāo)系；求出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；以及平面A₁B₁C₁的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，再結(jié)合

BM

•

n

的結(jié)果即可得到結(jié)論；
（ii）分別求出兩個(gè)平面的法向量，再代入向量的夾角計(jì)算公式即可得到答案．（注意角的范圍限制）

解答：解：（1）直線A₁B₁與平面BCC₁B₁所成的角的范圍為：(0，

π

4

]；
（2）（i）∵B₁B⊥BC，B₁B⊥BA，BC∩BA=B
∴BB₁⊥平面ABC（5分）
∵θ=90°，∴AC⊥BC
以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC，BA，BB₁所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖（4）
則A （0，2，0），C（1，0，0），A₁（0，2，4），C₁（1，0，1），B₁（0，0，2）（6分）
∴

B1C1

=（1，0，-1），

B1A1

=（0，2，2），
設(shè)平面A₁B₁C₁的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），
則

B1C1 • n =0 B1A1 • n =0

⇒

x-z=0 2y+2z=0

取

n

=（1，-1，1）．
∵M(jìn)（

1

2

，1，

1

2

），∴

BM

=（

1

2

，1，

1

2

）．
∴

BM

•

n

=

1

2

-1+

1

2

=0．
又BM不在平面A₁B₁C₁內(nèi)；
故BM∥平面A₁B₁C₁．
（ii）平面A₁B₁C₁的一個(gè)法向量為

n

=（1，-1，1）；
平面B₁C₁CB的法向量

m

=（0，1，0）
∴cos＜

m

•

n

＞=

n • m

| n | •| m |

=-

3

3

．
又因?yàn)?＜α≤90⁰；
∴α=π-＜

n

，

m

＞．
所以：cosα=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系以及空間角的求解等基礎(chǔ)知識(shí)；考慮空間想象能力及邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，劃歸與轉(zhuǎn)化思想．