已知向量
a
=（
3
cos x，0），
b
=（0，sin x），記函數(shù)f（x）=（
a
+
b
）2+
3
sin 2x，
（1）求函數(shù)f（x）的最小值及取最小值x的集合；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象按向量
d
平移后，得到的圖象關(guān)于坐標原點中心對稱且在[0，
π
4
]上單調(diào)遞減，求長度最小的
d
．
（1）∵f（x）=（
a
+
b
）2+
3
sin 2x=3cos2x+sin2x+
3
sin2x=2cos（2x-
π
3
）+2       …（3分）
∴f（x）≥0，當且僅當2x-
π
3
=2kπ+π，即x=kπ+
2π
3
，k∈Z時取到等號．
∴函數(shù)f（x）的最小值是0，此時x的集合是{x|x=kπ+
2π
3
，k∈Z}         …（6分）
（2）設(shè)
d
=（m，n），函數(shù)f（x） 的圖象平移后對應(yīng)的函數(shù)為g（x），則g（x）=2cos[2（x-m）-
π
3
]+2+n
由題意函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于坐標原點中心對稱，得
cos[2（0-m）-
π
3
]=0，且2+n=0，解得m=
1
2
kπ+
π
12
，k∈Z，且n=-2             …（8分）
①當m=kπ+
π
12
，k∈Z時，g（x）=2cos（2x-
π
2
）=2sin 2x，在[0，
π
4
]上單調(diào)遞增，不符合題意，舍去；
②當m=kπ+
7π
12
，k∈Z時，g（x）=2cos（2x+
π
2
）=-2sin 2x，在[0，
π
4
]上單調(diào)遞減，符合題意．…（10分）
∴
d
=（ kπ+
7π
12
，-2），k∈Z【若求出的結(jié)果是（kπ+
π
12
，-2），給（10分）】
∴長度最小的
d
=（-
5π
12
，-2）…（12分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（3cosα，2），
b
=（3，4sinα），且
a
∥
b
，則銳角α等于（　　）
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
5π
12

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量a=（cosωx，sinωx），b=(cosωx，
3
cosωx)，其中0＜ω＜2．記f（x）=a•b．
（1）若f（x）的最小正周期為2π，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸的方程為x=
π
6
，求ω的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•孝感模擬）已知向量
a
=（
3
cos x，0），
b
=（0，sin x），記函數(shù)f（x）=（
a
+
b
）2+
3
sin 2x，
（1）求函數(shù)f（x）的最小值及取最小值x的集合；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象按向量
d
平移后，得到的圖象關(guān)于坐標原點中心對稱且在[0，
π
4
]上單調(diào)遞減，求長度最小的
d
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知向量a=（3cosα，1），b=（-2，3sinα），且a⊥b，其中數(shù)學公式．
（1）求sinα和cosα的值；
（2）若數(shù)學公式，β∈（0，π），求角β的值．

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