【題目】如圖，四邊形為正方形，四邊形為矩形，且平面與平面互相垂直.若多面體 的體積為，則該多面體外接球表面積的最小值為（ ）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意，設出正方形邊長和矩形的高，根據(jù)體積公式，求得等量關系；再找到球心，求得半徑，利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，則問題得解.

根據(jù)題意，連接交于點，過作//交于點，交于，連接.

因為四邊形是正方形，故可得，

又因為平面平面，且交線為，又平面，故平面，

不妨設，

故可得多面體的體積；

則，解得；

又容易知多面體外接球的球心在四邊形外心的垂線上，且為的中點，

設外接球半徑為，則；

將代入可得，不妨令，

則，則，容易知是關于的單調增函數(shù)，

且當時，，故可得在上單調遞減，在單調遞減.

故.

則外接球表面積的最小值.

故選：B.

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