Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣x+1．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）證明當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，1＜ ＜x；
（3）設(shè)c＞1，證明當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，1+（c﹣1）x＞cx ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函數(shù)f（x）=lnx﹣x+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）= ﹣1，

由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．

即有f（x）的增區(qū)間為（0，1）；減區(qū)間為（1，+∞）；

（2）

證明：當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，1＜ ＜x，即為lnx＜x﹣1＜xlnx．

由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）遞減，

可得f（x）＜f（1）=0，即有l(wèi)nx＜x﹣1；

設(shè)F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F(xiàn)′（x）=1+lnx﹣1=lnx，

當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，可得F（x）遞增，即有F（x）＞F（1）=0，

即有xlnx＞x﹣1，則原不等式成立；

（3）

證明：設(shè)G（x）=1+（c﹣1）x﹣cx，G′（x）=c﹣1﹣cxlnc，

可令G′（x）=0，可得cx= ，

由c＞1，x∈（0，1），可得1＜cx＜c，即1＜ ＜c，

由（1）可得cx= 恰有一解，設(shè)為x=x0是G（x）的最大值點(diǎn)，且0＜x0＜1，

由G（0）=G（1）=0，且G（x）在（0，x0）遞增，在（x0，1）遞減，

可得G（x0）=1+（c﹣1）x0﹣cx0＞0成立，

則c＞1，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，1+（c﹣1）x＞cx．

【解析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意函數(shù)的定義域；（2）由題意可得即證lnx＜x﹣1＜xlnx．運(yùn)用（1）的單調(diào)性可得lnx＜x﹣1，設(shè)F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，求出單調(diào)性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；（3）設(shè)G（x）=1+（c﹣1）x﹣cx ， 求出導(dǎo)數(shù)，可令G′（x）=0，由c＞1，x∈（0，1），可得1＜ ＜c，由（1）可得cx= 恰有一解，設(shè)為x=x0是G（x）的最小值點(diǎn)，運(yùn)用最值，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證．；本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)．