17.(文)如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,EF=CE,AB=$\sqrt{2}$EF.
(Ⅰ)求證:AF∥平面BDE;
(Ⅱ)求證:CF⊥平面BDE.

分析 (Ⅰ)設(shè)AC于BD交于點(diǎn)G.證明AF∥EG,然后證明AF∥平面BDE.
(Ⅱ)連接FG.證明CF⊥EG,BD⊥AC.CF⊥BD.然后證明CF⊥平面BDE.

解答 證明:(Ⅰ)設(shè)AC于BD交于點(diǎn)G.因?yàn)镋F∥AG,且EF=1,AG=$\frac{1}{2}$AG,

所以四邊形AGEF為平行四邊形
所以AF∥EG
因?yàn)镋G?平面BDE,AF?平面BDE,
所以AF∥平面BDE
(Ⅱ)連接FG.因?yàn)镋F∥CG,EF=CG=CE,所以平行四邊形CEFG為菱形.
所以CF⊥EG.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以BD⊥AC.
又因?yàn)槠矫鍭CEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,
所以BD⊥平面ACEF.
所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,
所以CF⊥平面BDE.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直以及直線與平面平行的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用,考查空間想象能力以及邏輯推理能力.

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