Question

15．如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，點P為線段AD′的中點，則異面直線CP與BA′所成角θ的值為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量的夾角公式即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系
不妨設(shè)AB=2，則D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
P（1，0，1），A′（2，0，2）．
$\overrightarrow{CP}$=（1，-2，1），$\overrightarrow{B{A}^{′}}$=（0，-2，2）．
∴$cos＜\overrightarrow{CP}，\overrightarrow{B{A}^{′}}＞$=$\frac{\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{B{A}^{′}}}{|\overrightarrow{CP}||\overrightarrow{B{A}^{′}}|}$=$\frac{6}{\sqrt{6}×\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$＜\overrightarrow{CP}，\overrightarrow{B{A}^{′}}＞$=$\frac{π}{6}$．
∴異面直線CP與BA′所成角θ的值為$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了通過求向量的夾角公式求異面直線的夾角、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．