【題目】試求出正整數(shù)的最小可能值,使得下述命題成立:對(duì)于任意的個(gè)整數(shù)(允許相等),必定存在相應(yīng)的個(gè)整數(shù)(也允許相等),且,,使得2003能整除.

【答案】7

【解析】

先證明時(shí),命題成立.為此,考慮和式,其中.

這種和式共有個(gè),由于,所以,由抽屜原則可知,必有兩個(gè)不同的和式2003除所得的余數(shù)相同.

2003能整除

.

其中(因?yàn)?/span>、,),且至少有一個(gè)(因?yàn)閿?shù)組).這時(shí),取,,即可滿足要求.

故當(dāng)時(shí),命題成立.

其次,證明時(shí),命題不成立.為此,我們舉反例.

,,,,

于是,對(duì)于任意的6個(gè)整數(shù),,,

和式都是3的倍數(shù).

.

不妨設(shè)中不為零且下標(biāo)為最大的數(shù)是,即,且,則

.

另外,不妨設(shè)(當(dāng)時(shí),可考慮.

,則

.

,則,.

綜上可知,且,.

顯然20033互素.

假若有2003整除,則,為整數(shù),且.于是,,這與矛盾.因此,當(dāng)取,時(shí),就不可能有,,,能使得

.

這個(gè)反例說明:當(dāng)時(shí),命題不成立.

由上述兩步可知,所求的最小正整數(shù)7.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定義在R上的函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都滿足,且當(dāng)時(shí),

1)判斷函數(shù)的奇偶性,并證明;

2)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并證明;

3)解不等式

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】三臺(tái)縣某蔬菜基地種植西紅柿,由歷年市場(chǎng)行情得知,從二月一日起的天內(nèi),西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系為;西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系為.認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益,問何時(shí)上市的西紅柿純收益最大?最大收益是多少?(注:市場(chǎng)售價(jià)各種植成本的單位:元/,時(shí)間單位:天)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為矩形,二面角A-CD-F60°,DE∥CF,CD⊥DE,AD=2,DE=DC=3,CF=6.

(1)求證:BF∥平面ADE;

(2)在線段CF上求一點(diǎn)G,使銳二面角B-EG-D的余弦值為.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4,離心率為.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點(diǎn),點(diǎn)為直線軸的交點(diǎn),點(diǎn)軸的負(fù)半軸上.若為原點(diǎn)),且,求直線的斜率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(1axby)n的展開式中不含y的項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值的和為32,則a,n的值可能為( )

A.a=2,n=5B.a=1,n=6C.a=-1,n=5D.a=1,n=5

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了打好脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),某貧困縣農(nóng)科院針對(duì)玉米種植情況進(jìn)行調(diào)研,力爭(zhēng)有效地改良玉米品種,為農(nóng)民提供技術(shù)支援.現(xiàn)對(duì)已選出的一組玉米的莖高進(jìn)行統(tǒng)計(jì),獲得數(shù)據(jù)如下表(單位:厘米),設(shè)莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米,否則為矮莖玉米.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

K

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

,其中

抗倒伏數(shù)據(jù)如下:

143 147 147 151 153 153 157 159 160 164 166 169 174 175 175

180 188 188 192 195 195 199 203 206 206

易倒伏數(shù)據(jù)如下:

151 167 175 178 181 182 186 186 187 190 190 193 194 195 198

199 199 202 202 203

1)完成 2×2 列聯(lián)表,并說明能否在犯錯(cuò)概率不超過0.01的條件下認(rèn)為抗倒伏是否與玉米矮莖有關(guān)?

2)(i)按照分層抽樣的方式,在上述樣本中,從易倒伏和抗倒伏兩組中抽出9株玉米,再?gòu)倪@9株中取出兩株進(jìn)行雜交試驗(yàn),設(shè)取出的易倒伏玉米株數(shù)為X,求X的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);

ii)若將頻率視為概率,從抗倒伏的玉米試驗(yàn)田中再隨機(jī)取出50株,求取出的高莖玉米株數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定義在R上的函數(shù)滿足以下三個(gè)條件:①對(duì)于任意的,都有;②對(duì)于任意的都有③函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則下列結(jié)論中正確的是( )

A. B.

C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在多面體中,底面是菱形,,,.

(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)若平面平面,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案