Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=

1

4

（Ⅰ）求△ABC的周長(zhǎng)；
（Ⅱ）求cos（A-C）的值．

Answer 1

分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a(bǔ)，b及cosC的值代入求出c的值，從而求出三角形ABC的周長(zhǎng)；
（II）根據(jù)cosC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根據(jù)大邊對(duì)大角，由a小于c得到A小于C，即A為銳角，則根據(jù)sinA的值利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosA的值，然后利用兩角差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)所求的式子，把各自的值代入即可求出值．

解答：解：（I）∵c²=a²+b²-2abcosC=1+4-4×

1

4

=4，
∴c=2，
∴△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=1+2+2=5．
（II）∵cosC=

1

4

，∴sinC=

1-cos2C

=

1-( 1 4 )2

=

15

4

．
∴sinA=

asinC

c

=

15 4

2

=

15

8

．
∵a＜c，∴A＜C，故A為銳角．則cosA=

1-( 15 8 )2

=

7

8

，
∴cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=

7

8

×

1

4

+

15

8

×

15

4

=

11

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的基本公式和解斜三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題．