Question

在R上定義運(yùn)算⊕：x?y=x（1-y）若對任意x＞2，不等式（x-a）?x≤a+2都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A．[-1，7]

B．（-∞，3]

C．（-∞，7]

D．（-∞，-1]∪[7，+∞）

Answer 1

分析：由x?y=x（1-y），把（x-a）?x≤a+2轉(zhuǎn)化為（x-a）（1-x）≤a+2，由任意x＞2，不等式（x-a）?x≤a+2都成立，知a≤

x2-x+2

x-2

．令f（x）=

x2-x+2

x-2

，x＞2，則a≤[f（x）]_min，x＜2．由此能求出結(jié)果．

解答：解：∵x?y=x（1-y），
∴（x-a）?x≤a+2轉(zhuǎn)化為（x-a）（1-x）≤a+2，
∴-x²+x+ax-a≤a+2，
a（x-2）≤x²-x+2，
∵任意x＞2，不等式（x-a）?x≤a+2都成立，
∴a≤

x2-x+2

x-2

．
令f（x）=

x2-x+2

x-2

，x＞2，
則a≤[f（x）]_min，x＜2
而f（x）=

x2-x+2

x-2

=

(x-2)2+3(x-2)+4

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+3
≥2

(x-2)• 4 x-2

+3=7，
當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)，取最小值．
∴a≤7．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了在新定義下對函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用．關(guān)于新定義型的題，關(guān)鍵是理解定義，并會用定義來解題．