Question

（2008•普陀區(qū)一模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=AC=BC，∠ACB=90°，P是AA₁的中點，Q是AB的中點．
（1）求異面直線PQ與B₁C所成角的大�。�
（2）若直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為

1

2

，求四棱錐C-BAPB₁的體積．

Answer 1

分析：（1）以C為坐標原點，以CA，CB，CC₁為X，Y，Z軸正方向建立空間直角坐標系，分別求出異面直線PQ與B₁C的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出異面直線PQ與B₁C所成角的大��；
（2）連接CQ．由AC=BC，由已知中，Q是AB的中點，AA₁⊥面ABC，我們根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質及線面垂直的性質，即可得到CQ⊥AB，CQ⊥AA₁，進而根據(jù)線面垂直的判定定理，得到CQ⊥面ABB₁A₁，故CQ即為四棱錐C-BAPB₁的高，求出棱錐的底面面積，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：（1）以C為坐標原點，以CA，CB，CC₁為X，Y，Z軸正方向建立空間直角坐標系．不妨設CC₁=AC=BC=2．
依題意，可得點的坐標P（2，0，1），Q（1，1，0），B₁（0，2，2）．
于是，

PQ

=(-1，1，-1)，

B1C

=（0，-2，-2）．
由

PQ

•

B1C

=0，
則異面直線PQ與B₁C所成角的大小為

π

2

．
（2）連接CQ．由AC=BC，Q是AB的中點，得CQ⊥AB；
由AA₁⊥面ABC，CQ?面ABC，得CQ⊥AA₁．
又AA₁∩AB=A，因此CQ⊥面ABB₁A₁
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為

1

2

⇒CC₁=AC=BC=1．可得CQ=

2

2

．
所以，四棱錐C-BAPB₁的體積為VC-BAPB1=

1

3

•CQ•SBAPB1=

1

3

•

2

2

•[

1

2

(

1

2

+1)•

2

]=

1

4

．

點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，棱錐的體積，其中（1）的關鍵是建立空間坐標系，將異面直線夾角問題轉化為向量夾角問題，而（2）的關鍵是根據(jù)線面垂直的判定定理，得到CQ為棱錐的高．