【題目】已知一個(gè)正四面體紙盒的俯視圖如圖所示,其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形,若在該正四面體紙盒內(nèi)放一個(gè)正方體,使正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則正方體棱長(zhǎng)的最大值是_____.
【答案】
【解析】
由一個(gè)正四面體紙盒的俯視圖如圖所示,其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形,
則正四面體的棱長(zhǎng),設(shè)此球的一個(gè)內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為a,則,即可得答案.
由一個(gè)正四面體紙盒的俯視圖如圖所示,其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形,
則正四面體的棱長(zhǎng).
先求出此正四面體的內(nèi)切球,再求出此球的一個(gè)內(nèi)接正方體即可.
設(shè)此正四面體的應(yīng)該內(nèi)切球的半徑為r,則4r S底面hS底面.
∴r.
作AO⊥底面BCD,垂足為O點(diǎn),O為底面正三角形的中心.
AO2,∴r,
設(shè)此球的一個(gè)內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為a,則,解得.
故答案為:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中, 分別是的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)若三棱柱的體積為4,求異面直線與夾角的余弦值.
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【題目】如圖,四棱錐中,,,,為正三角形.若,且與底面所成角的正切值為.
(1)證明:平面平面;
(2)是線段上一點(diǎn),記,是否存在實(shí)數(shù),使二面角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐中,點(diǎn)在以為直徑的圓上,平面平面,點(diǎn)在線段上,且,,,,點(diǎn)為的重心,點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購(gòu)是非常方便的購(gòu)物方式,為了了解網(wǎng)購(gòu)在我市的普及情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購(gòu)的調(diào)查問卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析,從而得到表(單位:人)
經(jīng)常網(wǎng)購(gòu) | 偶爾或不用網(wǎng)購(gòu) | 合計(jì) | |
男性 | 50 | 100 | |
女性 | 70 | 100 | |
合計(jì) |
(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān)?
(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的概率;
②將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.
參考公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若對(duì)任意的,都有恒成立,求a的取值范圍;
(3)函數(shù)的圖像上是否存在兩點(diǎn),且,使得直線AB的斜率k滿足:?若存在,求出與之間的關(guān)系;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:經(jīng)過兩點(diǎn),.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且直線與以線段為直徑的圓交于另一點(diǎn)(異于點(diǎn)),若,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年3月鄭州市被國(guó)務(wù)院確定為全國(guó)46個(gè)生活垃圾分類處理試點(diǎn)城市之一,此后由鄭州市城市管理局起草公開征求意見,經(jīng)專家論證,多次組織修改完善,數(shù)易其稿,最終形成《鄭州市城市生活垃圾分類管理辦法》(以下簡(jiǎn)稱《辦法》).《辦法》已于2019年9月26日被鄭州市人民政府第35次常務(wù)會(huì)議審議通過,并于2019年12月1日開始施行.《辦法》中將鄭州市生活垃圾分為廚余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4類.為了獲悉高中學(xué)生對(duì)垃圾分類的了解情況,某中學(xué)設(shè)計(jì)了一份調(diào)查問卷,500名學(xué)生參加測(cè)試,從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生問卷,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組:,,…,,并整理得到如下頻率分布直方圖:
(1)從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其分?jǐn)?shù)不低于60的概率;
(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù),
(3)學(xué)校環(huán)保志愿者協(xié)會(huì)決定組織同學(xué)們利用課余時(shí)間分批參加“垃圾分類,我在實(shí)踐”活動(dòng),以增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí).首次活動(dòng)從樣本中問卷成績(jī)低于40分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加,已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的5名學(xué)生中,男生3人,女生2人,求抽取的2人中男女同學(xué)各1人的概率是多少?
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