Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為45°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）=12．
（1）求|$\overrightarrow$|
（2）求$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=2\sqrt{2}|\overrightarrow|$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，便可由$（\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）=12$得出$3|\overrightarrow{|}^{2}-\sqrt{2}|\overrightarrow|-4=0$，解該方程即可求得$|\overrightarrow|$的值；
（2）根據(jù)投影的計(jì)算公式即可得出$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影．

解答 解：（1）根據(jù)條件，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos45°=2\sqrt{2}|\overrightarrow|$；
∴$（\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）$=${\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow-3{\overrightarrow}^{2}$=$16+\sqrt{2}|\overrightarrow|-3|\overrightarrow{|}^{2}=12$；
∴$3|\overrightarrow{|}^{2}-\sqrt{2}|\overrightarrow|-4=0$；
解得$|\overrightarrow|=\sqrt{2}$或$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$（舍去）；
（2）$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上的投影為$|\overrightarrow|cos45°=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，一元二次方程的解法，以及投影的定義及計(jì)算公式．