Question

（08年唐山一中一模理）    設(shè)f(x) 是定義在R上的減函數(shù)，滿足f(x+y)=f(x)•f(y)且f(0)=1,數(shù)列{a_n}

滿足a₁=4，f(log₃f(-1-log₃=1 (n∈N^*)

（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和, 試比較S_n與6n²-2的大小.

Answer 1

解析:(Ⅰ)由題設(shè)知f(log₃∙f(-1-log₃=1 (n∈N^*)可化為

 

,∵y=f(x)是定義在R上的單調(diào)減函數(shù)，

∴即

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列�！鄉(xiāng)og₃即a_n=.

                                             ………………………………6分

(Ⅱ)S_n=a₁+a₂+a₃+???+a_n =4(1+3¹+3²+???+3^n-1)=2(3ⁿ-1)

當(dāng)n=1時(shí)有S_n=6n²-2=4; 當(dāng)n=2時(shí)有S_n=16<6n²-2=22; 當(dāng)n=3時(shí)有S_n=6n²-2=52;

當(dāng)n=4時(shí)有S_n=160>6n²-2=94; 當(dāng)n=5時(shí)有S_n=484>6n²-2=148.

由此猜想當(dāng)n≥4時(shí), 有S_n>6n²-23^n-1>n².下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時(shí)顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥4,k∈N^*)時(shí), 有3^k-1>k²; 當(dāng)n=k+1時(shí)，有3^k=3?3^k-1>3k²,

∵k≥4∴k(k-1)≥12, ∴3k²-(k-1)²=2k(k-1)-1>0即3k²>(k+1)², ∴3^k>3k²>(k+1)², ∴3^k>(k+1)²,因此當(dāng)n=k+1時(shí)原式成立.

由①②可知當(dāng)n≥4時(shí)有3^n-1>n²即S_n>6n²-2.

綜上可知當(dāng)n=1,3時(shí),有S_n=6n²-2；當(dāng)n=2時(shí),有S_n<6n²-2；當(dāng)n≥4時(shí),有S_n>6n²-2。………………12分