【題目】若數(shù)列滿足:對(duì)于任意均為數(shù)列中的項(xiàng),則稱數(shù)列為“ 數(shù)列”.
(1)若數(shù)列的前項(xiàng)和,求證:數(shù)列為“ 數(shù)列”;
(2)若公差為的等差數(shù)列為“ 數(shù)列”,求的取值范圍;
(3)若數(shù)列為“ 數(shù)列”,,且對(duì)于任意,均有,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】分析:(1)先利用項(xiàng)和公式計(jì)算出an=4n-2,再利用“ 數(shù)列”證明.(2)利用“ 數(shù)列”的性質(zhì)求的取值范圍.(3)先證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列,再轉(zhuǎn)化an<a-a<an+1,再轉(zhuǎn)化為n(2t2-t)>t2-3t+1,n(t-2t2)>2t-t2-1,分析得到公差t=,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
詳解:(1)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,
又a1=S1=2=4×1-2,所以an=4n-2.
所以an+|an+1-an+2|=4n-2+4=4(n+1)-2為數(shù)列{an}的第n+1項(xiàng),
因此數(shù)列{an}為“T 數(shù)列”.
(2)因?yàn)閿?shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,
所以an+|an+1-an+2|=a1+(n-1) d+|d|.
因?yàn)閿?shù)列{an}為“T 數(shù)列”,
所以任意n∈N*,存在m∈N*,使得a1+(n-1) d+|d|=am,即有(m-n) d=|d|.
①若d≥0,則存在m=n+1∈N*,使得(m-n) d=|d|,
②若d<0,則m=n-1.
此時(shí),當(dāng)n=1時(shí),m=0不為正整數(shù),所以d<0不符合題意. 綜上,d≥0.
(3)因?yàn)?/span>an<an+1,所以an+|an+1-an+2|=an+an+2-an+1.
又因?yàn)?/span>an<an+an+2-an+1=an+2-(an+1-an)<an+2,且數(shù)列{an}為“T數(shù)列”,
所以an+an+2-an+1=an+1,即an+an+2=2an+1,
所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
設(shè)數(shù)列{an}的公差為t(t>0),則有an=1+(n-1)t,
由an<a-a<an+1,得span>1+(n-1)t<t[2+(2n-1)t]<1+nt,
整理得n(2t2-t)>t2-3t+1, ①
n(t-2t2)>2t-t2-1. ②
若2t2-t<0,取正整數(shù)N0>,
則當(dāng)n>N0時(shí),n(2t2-t)<(2t2-t) N0<t2-3t+1,與①式對(duì)于任意n∈N*恒成立相矛盾,
因此2t2-t≥0.
同樣根據(jù)②式可得t-2t2≥0,
所以2t2-t=0.又t>0,所以t=.
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)t=時(shí),①②兩式對(duì)于任意n∈N*恒成立,
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1+ (n-1)=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值,設(shè)最小值為,求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的周期為3的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則方程在區(qū)間上的解得個(gè)數(shù)是( )
A. B. 6 C. 7 D. 9
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“微信運(yùn)動(dòng)”已經(jīng)成為當(dāng)下熱門的健身方式,韓梅梅的微信朋友圈內(nèi)有800為好友參與了“微信運(yùn)動(dòng)”.他隨機(jī)抽取了50為微信好友(男、女各25人),統(tǒng)計(jì)其在某一天的走路步數(shù).其中女性好友的走路步數(shù)數(shù)據(jù)記錄如下:
12860 8320 10231 6734 7323 8430 3200 4543 11123 9860
8753 6454 7292 4850 10222 9734 7944 9117 6421 2980
1123 1786 2436 3876 4326
男性好友走路步數(shù)情況可以分為五個(gè)類別(0-2000步)(說明:“0-2000”表示大于等于0,小于等于2000,下同),(2001-5000)、(5001-8000)、(8001-10000步)、(10001步及以上),且三中類型的人數(shù)比例為,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如圖所示的柱形圖.
若某人一天的走路步數(shù)超過8000步則被系統(tǒng)評(píng)定為“積極型”,否則被系統(tǒng)評(píng)定為“懈怠型”.
(1)若以韓梅梅抽取的好友當(dāng)天行走步數(shù)的頻率分布來估計(jì)所有微信好友每日走路步數(shù)的概率分布,請(qǐng)估計(jì)韓梅梅的微信好友圈里參與“微信運(yùn)動(dòng)”的800名好友中,每天走路步數(shù)在5001-10000步的人數(shù);
(2)請(qǐng)根據(jù)選取的樣本數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有95%以上的把握認(rèn)為“評(píng)定類型”與“性別”有關(guān)?
積極型 | 懈怠型 | 總計(jì) | |
男 | 25 | ||
女 | 25 | ||
總計(jì) | 30 |
(3)若從韓梅梅當(dāng)天選取的步數(shù)大于10000的好友中按男女比例分層選取5人進(jìn)行身體狀況調(diào)查,然后再從這5位好友中選取2人進(jìn)行訪談,求至少有一位女性好友訪談的概率.
參考公式:,其中.
臨界值表:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有下列說法:
①若某商品的銷售量(件)關(guān)于銷售價(jià)格(元/件)的線性回歸方程為,當(dāng)銷售價(jià)格為10元時(shí),銷售量一定為300件;
②線性回歸直線一定過樣本點(diǎn)中心;
③若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1;
④在殘差圖中,殘差點(diǎn)比較均勻落在水平的帶狀區(qū)域中即可說明選用的模型比較合適,與帶狀區(qū)域的寬度無關(guān);
⑤在線性回歸模型中,相關(guān)指數(shù)表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率,越接近于1,表示回歸的效果越好;
其中正確的結(jié)論有幾個(gè)( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了如圖所示的折線圖.
根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. 月接待游客量逐月增加
B. 年接待游客量逐年增加
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D. 各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月,波動(dòng)性更小,變化比較平穩(wěn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分,當(dāng)某局打成10:10平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2x,過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓.
(1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上;
(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4,-2),求直線l與圓M的方程.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】(1)證明略;(2)直線的方程為,圓的方程為.或直線的方程為,圓的方程為
試題分析:(1)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立直線與拋物線的方程,由斜率之積為可得,即得結(jié)論;(2)結(jié)合(1)的結(jié)論求得實(shí)數(shù)的值,分類討論即可求得直線的方程和圓的方程.
試題解析:(1)設(shè),.
由 可得,則.
又,故.
因此的斜率與的斜率之積為,所以.
故坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上.
(2)由(1)可得.
故圓心的坐標(biāo)為,圓的半徑.
由于圓過點(diǎn),因此,故,
即,
由(1)可得.
所以,解得或.
當(dāng)時(shí),直線的方程為,圓心的坐標(biāo)為,圓的半徑為,圓的方程為.
當(dāng)時(shí),直線的方程為,圓心的坐標(biāo)為,圓的半徑為,圓 的方程為.
【名師點(diǎn)睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí),要特別注意直線與拋物線的對(duì)稱軸平行的特殊情況.中點(diǎn)弦問題,可以利用“點(diǎn)差法”,但不要忘記驗(yàn)證或說明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部.
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求a的值;
(2)設(shè)m為整數(shù),且對(duì)于任意正整數(shù)n,,求m的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出60名,將其成績(jī)(均為整數(shù))整理后畫出的頻率分布直方圖如下:觀察圖形,回答下列問題:
(1)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少?
(2)估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的及格率(60分及以上為及格).
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