Question

20．已知直線l的參數(shù)方程是，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t+1}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立平面直角坐極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρcos²θ=2sinθ，
（1）求曲線C和直線l的普通方程；
（2）直線l與曲線C分別交于A，B兩點，求|AB|的長．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程為ρcos²θ=2sinθ，即ρ²cos²θ=2ρsinθ，進而可得曲線C普通方程；根據(jù)直線l的參數(shù)方程，利用代入消元法，可得直線l的普通方程；
（2）直線l與曲線C分別交于A，B兩點，聯(lián)立直線與拋物線的方程，結合韋達定理和弦長公式，可得|AB|的長．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標方程為ρcos²θ=2sinθ，
即ρ²cos²θ=2ρsinθ，
故曲線C的普通方程為x²=2y，…（3分）
∵直線l的參數(shù)方程是，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t+1}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），
消參得：直線l的普通方程為y=x+1．…（5分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}=2y\\ y=x+1\end{array}\right.$，得x²-2x-2=0，…（6分）
由韋達定理得x₁+x₂=2，x₁x₂=-2，…（8分）
由弦長公式得|AB|=$\sqrt{1+k2}$|x₁-x₂|=2$\sqrt{6}$． …（10分）

點評 本題考查的知識點是直線與拋物線的位置關系，極坐標，參數(shù)方程與普通方程的互化，難度中檔．