Question

設(shè)函數(shù)f（x）=1-x²，x∈[-

2

，1]．
（1）求f（x）的值域；
（2）求集合M={k|使方程f（x）=k（x+2）有兩個(gè)不等實(shí)根}．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用二次函數(shù)在x∈[-

2

，1]的性質(zhì)即可求得答案．
（2）由題意得x²+kx+2k-1=0在x∈[-

2

，1]有兩個(gè)不等實(shí)根，根據(jù)根的存在條件，列出不等式組，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=1-x²=-x²+1，
∴其對(duì)稱軸x=0穿過(guò)閉區(qū)間[-

2

，1]．
∴函數(shù)在x∈[-

2

，1]時(shí)，f（x）_max=f（0）=1，
又f（x）在[-

2

，0]上遞增，在[0，1]遞減，
f（-

2

）=-1，f（1）=0，f（-

2

）＜f（1），
∴函數(shù)在x∈[-

2

，1]時(shí)，f（x）_min=-1，
∴該函數(shù)的值域?yàn)閇-1，1]．
（2）∵f（x）=k（x+2）有兩個(gè)不等實(shí)根，
∴1-x²=k（x+2）有兩個(gè)不等實(shí)根，
即x²+kx+2k-1=0在x∈[-

2

，1]有兩個(gè)不等實(shí)根．
∴

- 2 ＜- k 2 ＜1 k2-4(2k-1)＞0 f(- 2 )≥0 f(1)≥0

解得，0≤k≤4-2

2

，
故集合M=[0，4-2

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，以及根的存在條件，考查分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．