【題目】已知點(diǎn)在橢圓上,且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若為橢圓的右頂點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上不同的兩點(diǎn)(均異于)且滿足直線與斜率之積為.試判斷直線是否過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,說明理由.
【答案】(1) ;(2)答案見解析.
【解析】試題分析:(1)由點(diǎn)在橢圓上,且橢圓的離心率為,結(jié)合性質(zhì) ,列出關(guān)于 、 、的方程組,求出 、 、,即可得橢圓的方程;(2)由題意,直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為, , ,聯(lián)立,得,根據(jù)韋達(dá)定理、斜率公式及直線與斜率之積為,可得,解得或,將以上結(jié)論代入直線方程即可得結(jié)果.
試題解析:(1)可知離心率,故有,
又有點(diǎn)在橢圓上,代入得,
解得, ,
故橢圓的方程為.
(2)由題意,直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為
, , ,
聯(lián)立得.
∴, .
∵直線與斜率之積為.
而點(diǎn),∴.
∴.
化簡(jiǎn)得,
∴,
化簡(jiǎn)得,解得或,
當(dāng)時(shí),直線的方程為直線與斜率之積為,過定點(diǎn).
代入判別式大于零中,解得.
當(dāng)時(shí),直線的方程為,過定點(diǎn),不符合題意.
故直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線與橢圓交于點(diǎn), (在軸上方),且.設(shè)點(diǎn)在軸上的射影為,三角形的面積為2(如圖1).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)平行于的直線與橢圓相交,其弦的中點(diǎn)為.
①求證:直線的斜率為定值;
②設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn), (在軸上方),點(diǎn)為橢圓上異于, , , 一點(diǎn),直線交于點(diǎn), 交于點(diǎn),如圖2,求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn),過點(diǎn)的直線(與軸不重合)與橢圓交于兩點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn),試證明:直線與軸平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2018貴州遵義市高三上學(xué)期第二次聯(lián)考】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,拋物線的焦點(diǎn)為,以為焦點(diǎn),離心率的橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為;自引直線交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn),設(shè).
(Ⅰ)求拋物線的方程和橢圓的方程;
(Ⅱ)若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是 (為參數(shù)).
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線相交于兩點(diǎn),且,求直線的傾斜角的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓與直線都經(jīng)過點(diǎn).直線與平行,且與橢圓交于兩點(diǎn),直線與軸分別交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)證明: 為等腰三角形.
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【題目】據(jù)中國日?qǐng)?bào)網(wǎng)報(bào)道:2017年11月13日,TOP500發(fā)布的最新一期全球超級(jí)計(jì)算機(jī)500強(qiáng)榜單顯示,中國超算在前五名中占據(jù)兩席,其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了國產(chǎn)品牌處理器。為了了解國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度,某調(diào)查公司對(duì)兩種國產(chǎn)品牌處理器進(jìn)行了12次測(cè)試,結(jié)果如下(數(shù)值越小,速度越快,單位是MIPS)
測(cè)試1 | 測(cè)試2 | 測(cè)試3 | 測(cè)試4 | 測(cè)試5 | 測(cè)試6 | 測(cè)試7 | 測(cè)試8 | 測(cè)試9 | 測(cè)試10 | 測(cè)試11 | 測(cè)試12 | |
品牌A | 3 | 6 | 9 | 10 | 4 | 1 | 12 | 17 | 4 | 6 | 6 | 14 |
品牌B | 2 | 8 | 5 | 4 | 2 | 5 | 8 | 15 | 5 | 12 | 10 | 21 |
設(shè)分別表示第次測(cè)試中品牌A和品牌B的測(cè)試結(jié)果,記
(Ⅰ)求數(shù)據(jù)的眾數(shù);
(Ⅱ)從滿足的測(cè)試中隨機(jī)抽取兩次,求品牌A的測(cè)試結(jié)果恰好有一次大于品牌B的測(cè)試結(jié)果的概率;
(Ⅲ)經(jīng)過了解,前6次測(cè)試是打開含有文字和表格的文件,后6次測(cè)試是打開含有文字和圖片的文件.請(qǐng)你依據(jù)表中數(shù)據(jù),運(yùn)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí),對(duì)這兩種國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度進(jìn)行評(píng)價(jià).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】衡陽市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí),面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者,現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名后按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng),則應(yīng)從第3,4,5組各抽取多少名志愿者?
(2)在(1)的條件下,該市決定在第3,4組的志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn),求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,過點(diǎn)作極坐標(biāo)方程為的直線的平行線,分別交曲線于兩點(diǎn).
(1)寫出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若成等比數(shù)列,求的值.
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