Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³+3|x-a|+2（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x³+3|x|+2，①當(dāng)x≥0時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)判斷f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；②x＜0時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．
（2）①a≥2時(shí)，②a≤0時(shí)，③0＜a＜2時(shí)，（ i）0＜a＜1時(shí)，（ ii）1≤a≤2時(shí)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x³+3|x|+2，
①當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x³+3x+2，f'（x）=3x²+3＞0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
②當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x³-3x+2，f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），-1＜x＜0時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-1，0）單調(diào)遞減；x＜-1時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（-∞，-1）單調(diào)遞增；
綜上，f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），（0，+∞），減區(qū)間為（-1，0）；
（2）①a≥2時(shí)，f（x）=x³+3（a-x）+2，0≤x≤2，f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
f（x）_min=f（1）=3a，
②a≤0時(shí)，f（x）=x³+3（x-a）+2，0≤x≤2，f'（x）=3x²+3＞0，f（x）在[0，2]單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（0）=-3a+2，
③0＜a＜2時(shí)，而$0≤x≤2，f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^3}+3（{x-a}）+2，a≤x≤2}\\{{x^3}-3（{x-a}）+2，0≤x≤a}\end{array}}\right.$，
∴$f'（x）=\left\{{\begin{array}{l}{3{x^2}+3，a≤x≤2}\\{3{x^2}-3，0≤x≤a}\end{array}}\right.$，
（ i）0＜a＜1時(shí)，f（x）在[a，2]上單增，f（a）為最小值，
f'（x）=3（x²-1）＜0在0≤x≤a上恒成立，
∴f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減，
∴$f{（x）_{min}}=f（a）={a^3}+2$；
（ ii）1≤a≤2時(shí)，f（x）在[a，2]上單調(diào)遞增，$f{（x）_{min}}=f（a）={a^3}+2$，
在0≤x≤a時(shí)，f'（x）=3（x²-1），∴f（x）_min=f（1）=3a，
綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的最小值為-3a+2；
當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f（x）的最小值為a³+2；當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）的最小值為3a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的最值單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．