Question

1．已知θ∈（0，π），則y=$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}+\frac{9}{{{{cos}^2}θ}}$的最小值為（　　）

• A． 6
• B． 10
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡函數(shù)y的解析式，再利用基本不等式求得它的最小值．

解答 解：∵θ∈（0，π），
∴y=$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}+\frac{9}{{{{cos}^2}θ}}$=$\frac{{cos}^{2}θ{+sin}^{2}θ}{{sin}^{2}θ}$+$\frac{{9sin}^{2}θ+{9cos}^{2}θ}{{cos}^{2}θ}$
=1+$\frac{1}{{tan}^{2}θ}$+9+9tan²θ≥10+2$\sqrt{9}$=16，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{{tan}^{2}θ}$=9tan²θ，即tanθ=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，等號(hào)成立，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．