Question

16．如圖，記棱長為1的正方體C₁，以C₁各個面的中心為頂點的正八面體為C₂，以C₂各面的中心為頂點的正方體為C₃，以C₃各個面的中心為頂點的正八面體為C₄，…，以此類推得一系列的多面體C_n，設(shè)C_n的棱長為a_n，則數(shù)列{a_n}的各項和為$\frac{6+3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件先求出a₂，根據(jù)條件依次求出a₃，a₄，a₅，然后利用歸納推理得到：奇數(shù)項與偶數(shù)項都是等比數(shù)列，然后求和即可．

解答 解：正方體C₁各面中心為頂點的凸多面體C₂為正八面體，
它的中截面（垂直平分相對頂點連線的界面）是正方形，
該正方形對角線長等于正方體的棱長，
所以它的棱長a₂=$\frac{{a}_{1}}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
以C₂各個面的中心為頂點的正方體為圖形C₃是正方體，
正方體C₃面對角線長等于C₂棱長的 $\frac{2}{3}$，（正三角形中心到對邊的距離等于高的 $\frac{2}{3}$），
因此對角線為 $\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，所以a₃=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，
以上方式類推，得a₄=$\frac{{a}_{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，a₅=$\frac{\frac{2}{3}{a}_{4}}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{9}$，…，
{a_n}各項依次為：1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{6}$，$\frac{1}{9}$，…
奇數(shù)項是首項為：1，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，偶數(shù)項是首項為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
數(shù)列{a_n}的各項和為：$\frac{1}{1-\frac{1}{3}}$+$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{4}$=$\frac{6+3\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{6+3\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題主要考查等比數(shù)列得通項公式，以及歸納推理的應(yīng)用，無窮等比數(shù)列各項和的求法，可以從中找到規(guī)律，分奇數(shù)項、偶數(shù)項討論，考查分析問題解決問題的能力．