精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
設F1,F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點,若在直線x=
a2
c
上存在點P,使線段PF1的中垂線過點F2,則橢圓的離心率的取值范圍是
3
3
,1)
3
3
,1)
分析:設準線與x軸的交點為Q,連結PF2,根據平面幾何的知識可得|PF2|=|F1F2|=2c且|PF2|≥|QF2|,由此建立關于a、c的不等關系,化簡整理得到關于離心率e的一元二次不等式,解之即可得到橢圓離心率e的取值范圍.
解答:解:設準線與x軸的交點為Q,連結PF2
∵PF1的中垂線過點F2,
∴|F1F2|=|PF2|,可得|PF2|=2c,
∵|QF2|=
a2
c
-c,且|PF2|≥|QF2|,
∴2c≥
a2
c
-c,兩邊都除以a得2•
c
a
a
c
-
c
a
,
即2e≥
1
e
-e,整理得3e2≥1,解得e
3
3
,
結合橢圓的離心率e∈(0,1),得
3
3
≤e<1.
故答案為:(
3
3
,1).
點評:本題給出橢圓滿足的條件,求橢圓離心率的范圍.著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、線段的垂直平分線性質和不等式的解法等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設F1,F2分別是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦點,若橢圓C上的一點A(1,
3
2
)到F1,F2的距離之和為4.
(1)求橢圓方程;
(2)若M,N是橢圓C上兩個不同的點,線段MN的垂直平分線與x軸交于點P,求證:|
OP
|<
1
2
;
(3)若M,N是橢圓C上兩個不同的點,Q是橢圓C上不同于M,N的任意一點,若直線QM,QN的斜率分別為KQM•KQN.問:“點M,N關于原點對稱”是KQM•KQN=-
3
4
的什么條件?證明你的結論.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2009•南匯區(qū)二模)設F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點,其右焦點是直線y=x-1與x軸的交點,短軸的長是焦距的2倍.
(1)求橢圓的方程;
(2)若P是該橢圓上的一個動點,求
PF1
PF2
的最大值和最小值;
(3)是否存在過點A(5,0)的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直線l的方程;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•安徽)設橢圓E:
x2
a2
+
y2
1-a2
=1
的焦點在x軸上
(1)若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程;
(2)設F1,F2分別是橢圓E的左、右焦點,P為橢圓E上第一象限內的點,直線F2P交y軸于點Q,并且F1P⊥F1Q,證明:當a變化時,點P在某定直線上.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2009•南匯區(qū)二模)設F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點,其右焦點是直線y=x-1與x軸的交點,短軸的長是焦距的2倍.
(1)求橢圓的方程;
(2)若P是該橢圓上的一個動點,求
PF1
PF2
的最大值和最小值;
(3)若P是該橢圓上的一個動點,點A(5,0),求線段AP中點M的軌跡方程.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案