Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+3x-9．
（1）若函數(shù)f（x）在x=-3時取得極值，求函數(shù)f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（-3）=0，求出a的值，從而求出切線方程即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a≤-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）在[1，2]恒成立，令h（x）=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），x∈[1，2]，求出h（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+3，
f′（-3）=30-6a=0，解得：a=5，
∴f（x）=x³+5x²+3x-9，
f′（x）=3x²+10x+3，
f′（0）=3，f（0）=-9，
故切線方程是：y+9=3（x-0），
即3x-y-9=0；…（6分）
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
則f′（x）=3x²+2ax+3≤0在[1，2]恒成立，
即a≤-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）在[1，2]恒成立，
令h（x）=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），x∈[1，2]，
h′（x）=-$\frac{3（x-1）（x+1）}{{2x}^{2}}$＜0在[1，2]恒成立，
∴h（x）在[1，2]遞減，
h（x）_min=h（2）=-$\frac{15}{4}$，
∴a≤-$\frac{15}{4}$．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線方程問題，是一道中檔題．