Question

在如圖所示的多面體中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB=

2

，EF=EC=1，
（1）求證：平面BEF⊥平面DEF；
（2）求二面角A-BF-E的大�。�

Answer 1

分析：（1）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后分別求出平面BEF、平面DEF的法向量分別，根據(jù)法向量的數(shù)量積為0可得結(jié)論；
（2）先求出平面ABF的法向量然后求出與平面BEF的法向量的夾角，根據(jù)圖形可知二面角A-BF-E的平面角是鈍角，從而求出二面角的大小．

解答：解：（1）∵平面ACEF⊥平面ABCD，
EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，是A(

2

，

2

，0)
B(0，

2

，0)，D(

2

，0，0)，E(0，0，1)，F(xiàn)(

2

2

，

2

2

，1)，
∴

EF

=(

2

2

，

2

2

，0)，

BE

=(0，-

2

，1)，

DE

=(-

2

，0，1)
設(shè)平面BEF、平面DEF的法向量分別為

m

=(x1，y，1)，

n

=(x2，y2，1)，
則

m

•

EF

=

2

2

x1+

2

2

y1=0①

m

•

BE

=-

2

y1+1=0②

n

•

EF

=

2

2

x2+

2

2

y2=0③

n

•

DE

=-

2

x2+1=0④
由①②③④解得x₁=-

2

2

，y1=

2

2

；x₂=

2

2

，y2=-

2

2

，
∴

m

=(-

2

2

，

2

2

，1)，

n

=(

2

2

，-

2

2

，1)（4分）
∴

m

•

n

=-

1

2

-

1

2

+1=0，∴

m

⊥

n

，
故平面BEF⊥平面DEF（6分）
（2）設(shè)平面ABF的法向量

p

=(x1，y1，1)，∵BF=(

2

2

，-

2

2

，1)，

BA

=(

2

，0，0)
∴

p

•

BF

=

2

2

x3-

2

2

y3+1=0，

p

•

BA

=

2

x3=0，解得x3=0，y3=

2

∴

p

=(0，

2

，1)（8分）
∴cos＜

m

，

p

＞=

m • p

| m |•| p |

=

2

2 • 3

=

6

3

（10分）
由圖知，二面角A-BF-E的平面角是鈍角，
故所求二面角的大小為：π-arccos

6

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了面面垂直的判定，以及二面角大小的度量，同時(shí)考查了推理能力、計(jì)算能力，以及應(yīng)用向量知識(shí)解決立體幾何問題的能力．