【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的左頂點為(﹣2,0),離心率為 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線l過點S(4,0),與橢圓C交于P,Q兩點,點P關(guān)于x軸的對稱點為P′,P′與Q兩點的連線交x軸于點T,當(dāng)△PQT的面積最大時,求直線l的方程.
【答案】
(1)解:由題意可得 ,可得c=1,b= = .
即有橢圓的方程為 + =1;
(2)解:設(shè)直線l的方程為x=my+4,P(x1,y1),Q(x2,y2),則P'(x1,﹣y1),
聯(lián)立 得(4+3m2)y2+24my+36=0,
則△=(24m)2﹣144(4+3m2)=144(m2﹣4)>0,即m2>4.
又y1+y2=﹣ ,y1y2= ,
直線PQ的方程為y= (x﹣x1)﹣y1
則xT= =
= = +4=1,
則T(1,0),故|ST|=3
所以S△PQT=S△SQT﹣S△SPT= |y1﹣y2|= = ,
令t= >0,
則S△PQT= = ≤ = ,
當(dāng)且僅當(dāng)t2= 即m2= 即m=± 時取到“=”,
故所求直線l的方程為x=± y+4.
【解析】(1)運用橢圓的離心率公式和頂點坐標(biāo),以及a,b,c的關(guān)系,解得a,b,進而得到橢圓方程;(2)設(shè)直線l的方程為x=my+4,P(x1 , y1),Q(x2 , y2),則P'(x1 , ﹣y1),聯(lián)立直線和橢圓方程,運用韋達(dá)定理和判別式大于0,求得直線PQ的方程,令y=0,可得T的橫坐標(biāo),化簡可得T(1,0),由S△PQT=S△SQT﹣S△SPT= |y1﹣y2|,運用韋達(dá)定理,由換元法化簡整理運用基本不等式可得最大值,以及此時直線的方程.
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識點,需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人的各科成績?nèi)鐖D中的莖葉圖所示,則下列說法不正確的是( )
A. 甲、乙兩人的各科平均分相同
B. 甲各科成績的中位數(shù)是83,乙各科成績的中位數(shù)是85
C. 甲各科成績比乙各科成績穩(wěn)定
D. 甲各科成績的眾數(shù)是89,乙各科成績的眾數(shù)為87
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某禮品店要制作一批長方體包裝盒,材料是邊長為的正方形紙板.如圖所示,先在其中相鄰兩個角處各切去一個邊長是的正方形,然后在余下兩個角處各切去一個長、寬分別為、的矩形,再將剩余部分沿圖中的虛線折起,做成一個有蓋的長方體包裝盒.
(1)求包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)為多少時,包裝盒的容積最大?最大容積是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列命題:
①若 , 是第一象限角且 ,則 ;
②函數(shù) 在上是減函數(shù);
③ 是函數(shù) 的一條對稱軸;
④函數(shù) 的圖象關(guān)于點 成中心對稱;
⑤設(shè) ,則函數(shù) 的最小值是,其中正確命題的序號為 __________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC,滿足bcosC+ bsinC﹣a﹣c=0
(1)求角B的值;
(2)若a=2,且AC邊上的中線BD長為 ,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,Rt△AOB的直角邊OA在x軸上,OA=2,AB=1,將Rt△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到,拋物線經(jīng)過B、D兩點.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)連接BD,點P是拋物線上一點,直線OP把△BOD的周長分成相等的兩部分,求點P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某汽車站每天均有3輛開往省城的分為上、中、下等級的客車,某天袁先生準(zhǔn)備在該汽車站乘車前往省城辦事,但他不知道客車的車況,也不知道發(fā)車順序.為了盡可能乘上上等車,他采取如下策略:先放過一輛,如果第二輛比第一輛好則上第二輛,否則上第三輛.則他乘上上等車的概率為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】先后拋擲兩枚骰子,設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3,則( )
(A)P1=P2<P3 (B)P1<P2<P3 (C)P1<P2=P3 (D)P3=P2<P1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:
上年度出險次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保費 | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:
出險次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
頻數(shù) | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”,求P(A)的估計值;
(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”,求P(B)的估計值;
(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.
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