（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，底面，
點，分別在棱上，且  
（1）求證：平面；
（2）當為的中點時，求與平面所成的角的正弦值；
（3）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由.

（1）略
（2）
（3）存在點E使得二面角是直二面角
解法1:
（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（2）∵D為PB的中點，DE//BC，
∴，
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP為等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
（3）∵AE//BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP為二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.
∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，這時，
故存在點E使得二面角是直二面角.
解法2:如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，
設，由已知可得
.
（1）∵，
∴，∴BC⊥AP.
又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
（2）∵D為PB的中點，DE//BC，∴E為PC的中點，
∴，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵，
∴.
∴與平面所成的角的正弦值為.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分13分）
　　已知：如圖，長方體中，、分別是棱,上的點，,.
　�。�1） 求異面直線與所成角的余弦值；
　�。�2） 證明平面；
　�。�3） 求二面角的正弦值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分15分）
如圖5，在底面為直角梯形的四棱錐中，，．，，．

（1）求證：；
（2）求直線；
（3）設點E在棱PC上，，若，求的值。

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(本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC, △PAD是等邊三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=(1)設M是PC上的一點,證明：平面MBD⊥平面PAD(2)求四棱錐P-ABCD的體積

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱中，P是側棱上的一點，.
（1）當時，求直線AP與平面BDD1B1所成角的度數(shù)；
（2）在線段上是否存在一個定點，使得對任意的m，⊥AP，并證明你的結論.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（12分）如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，將矩形沿對角線BD把△ABD折起，使A移到點，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（1）、求證：；
（2）、求證：平面平面；
（3）、求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖①，正三角形邊長2，為邊上的高，、分別為、中點，現(xiàn)將沿翻折成直二面角，如圖②
(1)判斷翻折后直線與面的位置關系，并說明理由
(2)求二面角的余弦值
(3)求點到面的距離

圖 ①                       圖 2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

(8分)如圖，四棱錐底面是正方形且四個頂點在球的同一個大圓(球面被過球心的平面截得的圓叫做大圓)上，點在球面上且面，且已知。
（1）求球的體積；
（2）設為中點，求異面直線與所成角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知三棱柱中,三個側面均為矩形,底面為等腰直角三角形, ,點為棱的中點,點在棱上運動.

（1）求證；
（II）當點運動到某一位置時，恰好使二面角的平面角的余弦值為，求點到平面的距離；
（III）在（II）的條件下，試確定線段上是否存在一點，使得平面？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由.

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