在數(shù)列中，，且.

(Ⅰ) 求，猜想的表達(dá)式，并加以證明；

(Ⅱ)設(shè)，求證：對任意的自然數(shù)都有.

 

【答案】

(Ⅰ)  ， (Ⅱ)

所以

所以只需要證明

（顯然成立），所以命題得證

【解析】

試題分析：(Ⅰ)容易求得：.          1分

故可以猜想.下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：

顯然當(dāng)時，結(jié)論成立.                       2分

假設(shè)當(dāng)；時（也可以），結(jié)論也成立，即

,.                                  3分

那么當(dāng)時，由題設(shè)與歸納假設(shè)可知：

   4分

即當(dāng)時，結(jié)論也成立，綜上，對,成立.       6分

(Ⅱ)，  8分

所以

.                              10分

所以只需要證明

（顯然成立）

所以對任意的自然數(shù)，都有.      12分

考點：數(shù)學(xué)歸納法及數(shù)列求和

點評：數(shù)學(xué)歸納法用來證明與正整數(shù)有關(guān)的題目，證明步驟：1，證明當(dāng)時命題成立。2，假設(shè)當(dāng)時命題成立，借此證明當(dāng)是命題成立，綜上1，2得證；數(shù)列求和常用的方法有分組求和裂項相消求和錯位相減求和等

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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在數(shù)列中，，且滿足 .

（Ⅰ）求及數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)求數(shù)列的前項和.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年甘肅省高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題

（12分）在數(shù)列中，，且對任意都有成立，令（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年山西大學(xué)附中高二上學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)卷 題型：填空題

在數(shù)列中，，且當(dāng)時有，則數(shù)列的通項公式為             ．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年吉林省高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)卷 題型：填空題

在數(shù)列中，，且對于任意正整數(shù)n，都有，則＝      。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年高考試題（天津卷）解析版（理） 題型：解答題

 

在數(shù)列中，，且對任意.，，成等差數(shù)列，其公差為。

（Ⅰ）若=，證明，，成等比數(shù)列（）

（Ⅱ）若對任意，，，成等比數(shù)列，其公比為。

 

 

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