【選做題】在A,B,C,D四小題中只能選做2題,每題10分,共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
21-1.(選修4-2:矩陣與變換)
設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點的橫坐標(biāo)伸長到2倍,縱坐標(biāo)伸長到3倍的伸壓變換.
(1)求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量;
(2)求逆矩陣M-1以及橢圓+=1在M-1的作用下的新曲線的方程.
21-2.(選修4-4:參數(shù)方程)
以直角坐標(biāo)系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸.已知點P的直角坐標(biāo)為(1,-5),點M的極坐標(biāo)為(4,),若直線l過點P,且傾斜角為 ,圓C以M為圓心、4為半徑.
(1)求直線l關(guān)于t的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)試判定直線l和圓C的位置關(guān)系.
【答案】分析:21-1.(選修4-2:矩陣與變換)
(1)由M是把坐標(biāo)平面上的點的橫坐標(biāo)伸長到2倍,縱坐標(biāo)伸長到3倍的伸壓變換,可得矩陣M,進(jìn)而根據(jù)矩陣特征值和特征向量的定義得到矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量;
(2)根據(jù)(1)中M求出M-1,結(jié)合橢圓方程+=1,可得在M-1的作用下的新曲線的方程.
21-2.(選修4-4:參數(shù)方程)
(1)根據(jù)P點坐標(biāo)及直線l的傾斜角,可求出直線l的參數(shù)方程,根據(jù)點M的極坐標(biāo)及圓C以M為圓心、4為半徑可求出圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)求出直線l和圓C的普通方程,代入點到直線距離公式,求出圓心M到直線l的距離,與圓的半徑進(jìn)行比較后,可判斷直線與圓的位置關(guān)系.
解答:解:21-1.(選修4-2:矩陣與變換)
(1)∵M(jìn)是把坐標(biāo)平面上的點的橫坐標(biāo)伸長到2倍,縱坐標(biāo)伸長到3倍的伸壓變換
∴矩陣M=,
∴它的特征值為2和3,
∴對應(yīng)的特征向量為;
(2)M-1=,
橢圓+=1在M-1的作用下的新曲線的方程為x2+y2=1.
解:21-2.(選修4-4:參數(shù)方程)
(1)∵P的直角坐標(biāo)為(1,-5),
直線l過點P,且傾斜角為 ,
直線l的參數(shù)方程為,
又∵圓C以M為圓心、4為半徑
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ.
(2)因為M(4,)對應(yīng)的直角坐標(biāo)為(0,4),
直線l的普通方程為x-y-5-=0,
∴圓心到直線l的距離d==>5,
所以直線l與圓C相離.
點評:本題考查的知識點是直線與圓的位置關(guān)系,特征值,特征向量的求法,簡單曲線的極坐標(biāo)方程,難度中檔.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【選做題】在A,B,C,D四小題中只能選做2題,每題10分,共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
21-1.(選修4-2:矩陣與變換)
設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點的橫坐標(biāo)伸長到2倍,縱坐標(biāo)伸長到3倍的伸壓變換.
(1)求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量;
(2)求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程.
21-2.(選修4-4:參數(shù)方程)
以直角坐標(biāo)系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸.已知點P的直角坐標(biāo)為(1,-5),點M的極坐標(biāo)為(4,
π
2
),若直線l過點P,且傾斜角為 
π
3
,圓C以M為圓心、4為半徑.
(1)求直線l關(guān)于t的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)試判定直線l和圓C的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【選做題】在A,B,C,D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.選修4-1 幾何證明選講
如圖,⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P,E為⊙O上一點,AE=AC,DE交AB于點F.求證:△PDF∽△POC.
B.選修4-2 矩陣與變換
若點A(2,2)在矩陣M=
cosα-sinα
sinαcosα
對應(yīng)變換的作用下得到的點為B(-2,2),求矩陣M的逆矩陣.
C.選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點O與直角坐標(biāo)系的原點重合,極軸與x軸的正半軸重合,
曲線C1ρcos(θ+
π
4
)=2
2
與曲線C2
x=4t2
y=4t
(t∈R)交于A、B兩點.求證:OA⊥OB.
D.選修4-5 不等式選講
已知x,y,z均為正數(shù).求證:
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
1
x
+
1
y
+
1
z

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做兩題,每小題l0分,共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A.選修4 – 1幾何證明選講

如圖,△ABC的外接圓的切線AEBC的延長線相交于點E,

BAC的平分線與BC交于點D.

求證:ED2= EB·EC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:江蘇省2010屆三校四模聯(lián)考 題型:解答題

 【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做兩題,每小題l0分,共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A.選修4 – 1幾何證明選講

如圖,△ABC的外接圓的切線AEBC的延長線相交于點E,

BAC的平分線與BC交于點D.

求證:ED2= EB·EC.

 

 

 

 

 

B.矩陣與變換

已知矩陣,求滿足的二階矩陣

 

 

 

 

 

 

C.選修4 – 4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)

若兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為r = 1與r = 2cos( + ),它們相交于A,B兩點,求線段AB的長.

 

 

 

 

 

 

D.選修4 – 5 不等式證明選講

設(shè)a,b,c為正實數(shù),求證:a3 + b3 + c3 + ≥2.

 

 

 

 

 

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