Question

13．設(shè)向量$\vec a，\vec b$的夾角為θ，已知向量$\vec a=（{x，\sqrt{3}}），\vec b=（{x，-\sqrt{3}}）$，若$（{2\vec a+\vec b}）⊥\vec b$，則θ=$\frac{2}{3}π$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件，可先求出向量$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的坐標(biāo)，并可得到$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow=0$，進(jìn)行數(shù)量積的運算，從而能求得x的值，從而求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$及$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow|$的值，從而求出θ的值．

解答 解：$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（3x，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow=（x，-\sqrt{3}）$；
∵又$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）⊥\overrightarrow$；
∴$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow=3{x}^{2}-3=0$；
∴x=±1；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=1-3=-2，|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=2$；
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{-2}{2×2}=-\frac{1}{2}$；
∴$θ=\frac{2}{3}π$．
故答案為：$\frac{2}{3}π$．

點評 考查向量坐標(biāo)的數(shù)乘運算，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，向量余弦的計算公式．