Question

9．已知函數(shù)f（x）=（m+2cos²x）•cos（2x+θ）為奇函數(shù)，且f（$\frac{π}{4}$）=0，其中m∈R，θ∈（0，π）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象的對稱中心和單調遞增區(qū)間
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且f（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{24}$）=-$\frac{1}{2}$，c=1，ab=2$\sqrt{3}$，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把x=$\frac{π}{4}$代入函數(shù)解析式可求得m的值，進而根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推斷出f（0）=0，進而求得cosθ，則θ的值可得函數(shù)解析式，進而可得函數(shù)f（x）的圖象的對稱中心和單調遞增區(qū)間
（Ⅱ）由f（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{24}$）=-$\frac{1}{2}$可得C角，結合余弦定理及c=1，ab=2$\sqrt{3}$，可得△ABC的周長．

解答 解：（Ⅰ）f（$\frac{π}{4}$）=-（m+1）sinθ=0，
∵θ∈（0，π）．
∴sinθ≠0，
∴m+1=0，即m=-1，
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=（m+2）cosθ=0，
∴cosθ=0，θ=$\frac{π}{2}$．
故f（x）=（-1+2cos²x）cos（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x•（-sin2x）=-$\frac{1}{2}$sin4x，
由4x=kπ，k∈Z得：x=$\frac{1}{4}$kπ，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的圖象的對稱中心坐標為：（$\frac{1}{4}$kπ，0），k∈Z，
由4x∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{3π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ]，k∈Z，
即函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為[$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{3π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ]，k∈Z，
（Ⅱ）∵f（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{24}$）=-$\frac{1}{2}$sin（2C+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，C為三角形內角，
故C=$\frac{π}{6}$，
∴c²=a²+b²-2abcosC=${a}^{2}+^{2}-\sqrt{3}ab$=${（a+b）}^{2}-（2+\sqrt{3}）ab$，
∵c=1，ab=2$\sqrt{3}$，
∴a+b=2+$\sqrt{3}$，
∴a+b+c=3+$\sqrt{3}$，
即△ABC的周長為3+$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)關系，三角函數(shù)恒等變換的應用，函數(shù)奇偶性問題．綜合運用了所學知識解決問題的能力．