Question

已知正項數(shù)列{a_n}中，a₁=6，點在拋物線y²=x+1上；數(shù)列{b_n}中，點B_n（n，b_n）在過點（0，1），以方向向量為（1，2）的直線上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；（文理共答）
（Ⅱ）若f（n）=，問是否存在k∈N，使f（k+27）=4f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，說明理由；（文理共答）
（Ⅲ）對任意正整數(shù)n，不等式≤0成立，求正數(shù)a的取值范圍．（只理科答）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將點代入拋物線y²=x+1，得a_n+1=a_n+1，由此能求出a_n；過點（0，1），以方向向量為（1，2）的直線方程為y=2x+1，把點B_n（n，b_n）代入能求出b_n．
（Ⅱ）由f（n）==，利用題設(shè)條件能推導(dǎo)出存在唯一的k=4符合條件．
（Ⅲ）由-≤0，知a≤，設(shè)f（n+1）=，利用構(gòu)造法能求出正數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）將點代入拋物線y²=x+1，
得a_n+1=a_n+1，
∴a_n+1-a_n=d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）•1=n+5，
∵過點（0，1），以方向向量為（1，2）的直線方程為y=2x+1，
點B_n（n，b_n）在過點（0，1），以方向向量為（1，2）的直線上，
∴b_n=2n+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）==，
當k為偶數(shù)時，k+27為奇數(shù)，
∴f（k+27）=4f（k），
∴k+27+5=4（2k+1），∴k=4．
當k為奇數(shù)時，k+27為偶數(shù)，
∴2（k+27）+1=4（k+5），∴k=（舍去）
綜上所述，存在唯一的k=4符合條件．
（Ⅲ）由-≤0，
即a≤，
設(shè)f（n+1）=，
∴=
=
=
=，
∴f（n+1）＞f（n），即f（n）遞增，
∴f（n）_min=f（1）==，
∴0＜a≤．…（12分）
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．