Question

3．設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且asinAsinB+bcos²A=$\sqrt{2}$a，則角A的取值范圍為（0，$\frac{π}{4}$]．

Answer 1

分析 利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化簡(jiǎn)得：b=2a，由余弦定理表示出cosA，整理后利用基本不等式求出cosA的范圍，再由A為三角形的內(nèi)角，且根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到A的范圍．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式得：sin²AsinB+sinBcos²A=$\sqrt{2}$sinA，
即sinB（sin²A+cos²A）=$\sqrt{2}$sinA，
∴sinB=$\sqrt{2}$sinA，
由正弦定理得：b=$\sqrt{2}$a，
由余弦定理得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{2{a}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2\sqrt{2}ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2\sqrt{2}ac}$≥$\frac{2ac}{2\sqrt{2}ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵A為三角形ABC的內(nèi)角，且y=cosx在（0，π）上是減函數(shù)，
∴0＜A≤$\frac{π}{4}$，
則A的取值范圍是：（0，$\frac{π}{4}$]．
故答案為：（0，$\frac{π}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，基本不等式，以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．