如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.
求證:(1)CM∥平面PAD.
(2)平面PAB⊥平面PAD.
見解析
【解析】建立空間直角坐標(biāo)系.(1)可證明與平面PAD的法向量垂直;也可將分解為平面PAD內(nèi)的兩個向量的線性組合,利用共面向量定理證明.
(2)取AP中點E,利用向量證明BE⊥平面PAD即可.
【證明】由題意可知:
以C為坐標(biāo)原點,CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸,CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.
∵PC⊥平面ABCD,
∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角,
∴∠PBC=30°.
∵PC=2,∴BC=2,PB=4.
∴D(0,1,0),B(2,0,0),
A(2,4,0),P(0,0,2),M(,0,),
∴=(0,-1,2),=(2,3,0),
=(,0,).
(1)方法一:令n=(x,y,z)為平面PAD的一個法向量,則
即∴
令y=2,得n=(-,2,1).
∵n·=-×+2×0+1×=0,
∴n⊥.又CM?平面PAD,
∴CM∥平面PAD.
方法二:∵=(0,1,-2),=(2,4,-2),
假設(shè)∥平面PAD,
則存在x0,y0使=x0+y0,則
方程組的解為
∴=-+.
由共面向量定理知與,共面,故假設(shè)成立.
又∵CM?平面PAD,
∴CM∥平面PAD.
(2)取AP的中點E,連接BE,則E(,2,1),
=(-,2,1).
易知PB=AB,∴BE⊥PA.
又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0,
∴⊥,∴BE⊥DA.又PA∩DA=A,
∴BE⊥平面PAD.
又∵BE?平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)(三)第一章第三節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
下列命題中是真命題的是( )
(A)x∈R,使得sinxcosx=
(B)x∈(-∞,0),2x>1
(C)x∈R,x2≥x+1
(D)x∈(0,),tanx>sinx
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)四十四第七章第三節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
已知空間中有三條線段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直線AB與CD的位置關(guān)系是( )
(A)AB∥CD
(B)AB與CD異面
(C)AB與CD相交
(D)AB∥CD或AB與CD異面或AB與CD相交
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)四十六第七章第五節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
a,b,c是三條直線,α,β是兩個平面,b?α,c?α,則下列命題不成立的是( )
(A)若α∥β,c⊥α,則c⊥β
(B)“若b⊥β,則α⊥β”的逆命題
(C)若a是c在α內(nèi)的射影,a⊥b,則b⊥c
(D)“若b∥c,則c∥α”的逆否命題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)四十六第七章第五節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
已知直線m,n和平面α,β滿足m⊥n,m⊥α,α⊥β,則( )
(A)n⊥β (B)n∥β
(C)n⊥α (D)n∥α或n?α
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)四十八第七章第七節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c與a及b都垂直,則m,n的值分別為 .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)四十八第七章第七節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
若平面α,β垂直,則下面可以是這兩個平面的法向量的是( )
(A)n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)
(B)n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)
(C)n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)
(D)n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)四十二第七章第一節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
如圖所示,為了制作一個圓柱形燈籠,先要制作4個全等的矩形骨架,總計耗用9.6米鐵絲.再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面).
(1)當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時,S取得最大值?并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01平方米).
(2)若要制作一個如圖放置的、底面半徑為0.3米的燈籠,請作出燈籠的三視圖(作圖時,不需考慮骨架等因素).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)四十三第七章第二節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
一個空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
(A)πcm3 (B)3πcm3
(C)πcm3 (D)πcm3
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com