Question

12．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距成等差數(shù)列，若A、B是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M、N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AM，BN的斜率分別為k₁，k₂（k₁k₂≠0），則|k₁|+|k₂|的最小值為（　　）

• A． $\frac{8}{5}$
• B． $\frac{6}{5}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 利用條件得出a，b的關(guān)系，設(shè)M（x₀，y₀），用a表示出k₁，k₂，從而可得出結(jié)論．

解答 解：不妨設(shè)a＞b，設(shè)焦距為2c，由題意可知2a+2c=4b，
則c=2b-a，∴c²=4b²-4ab+a²，
∴a²-b²=4b²-4ab+a²，整理可得b=$\frac{4a}{5}$，
設(shè)M（x₀，y₀），y₀＞0，則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{25{{y}_{0}}^{2}}{16{a}^{2}}$=1，解得y₀=$\frac{4\sqrt{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}}{5}$，
∴N（x₀，-y₀），又A（-a，0），B（a，0），
∴k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，k₂=$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$，
∴|k₁|+|k₂|=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$+$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$=$\frac{4\sqrt{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}}{5}$（$\frac{1}{{x}_{0}+a}$+$\frac{1}{a-{x}_{0}}$）=$\frac{8}{5}\sqrt{\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}}$，
∴當(dāng)x₀=0時(shí)，|k₁|+|k₂|取得最小值$\frac{8}{5}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．