Question

（2012•西城區(qū)二模）若正整數(shù)N=a1+a2+…+an (ak∈N*，k=1，2，…，n)，則稱a₁×a₂×…×a_n為N的一個(gè)“分解積”．
（Ⅰ）當(dāng)N分別等于6，7，8時(shí)，寫出N的一個(gè)分解積，使其值最大；
（Ⅱ）當(dāng)正整數(shù)N（N≥2）的分解積最大時(shí)，證明：ak (k∈N*)中2的個(gè)數(shù)不超過2；
（Ⅲ）對任意給定的正整數(shù)N（N≥2），求出a_k（k=1，2，…，n），使得N的分解積最大．

Answer 1

分析：（I）將6，7，8分別進(jìn)行分解，然后寫出它們的一個(gè)分解積，使其值最大即可；
（II）由（Ⅰ）可知，a_k（k=1，2，…，n）中可以有2個(gè)2，當(dāng)a_k（k=1，2，…，n）有3個(gè)或3個(gè)以上的2時(shí)，可舉反例說明，從而證得結(jié)論；
（Ⅲ）討論a_k（k=1，2，…，n）中有1，有2，有4的個(gè)數(shù)，以及有大于4的數(shù)，從而得到a_k（k=1，2，…，n）中只能出現(xiàn)2或3或4，且2不能超過2個(gè)，4不能超過1個(gè)，從而可得a_k（k=1，2，…，n），使得N的分解積最大．

解答：解：（Ⅰ）6=3+3，分解積的最大值為3×3=9；                  …（1分）
7=3+2+2=3+4，分解積的最大值為3×2×2=3×4=12；  …（2分）
8=3+3+2，分解積的最大值為3×3×2=18．               …（3分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，a_k（k=1，2，…，n）中可以有2個(gè)2．       …（4分）
當(dāng)a_k（k=1，2，…，n）有3個(gè)或3個(gè)以上的2時(shí)，
因?yàn)?+2+2=3+3，且2×2×2＜3×3，
所以，此時(shí)分解積不是最大的．
因此，ak(k∈N*)中至多有2個(gè)2．                          …（7分）
（Ⅲ）解：①當(dāng)a_k（k=1，2，…，n）中有1時(shí)，
因?yàn)?+a_i=（a_i+1），且1×a_i＜a_i+1，
所以，此時(shí)分解積不是最大，可以將1加到其他加數(shù)中，使得分解積變大．…（8分）
②由（Ⅱ）可知，a_k（k=1，2，…，n）中至多有2個(gè)2．
③當(dāng)a_k（k=1，2，…，n）中有4時(shí)，
若將4分解為1+3，由 ①可知分解積不會最大；
若將4分解為2+2，則分解積相同；
若有兩個(gè)4，因?yàn)?+4=3+3+2，且4×4＜3×3×2，所以將4+4改寫為3+3+2，使得分解積更大．
因此，a_k（k=1，2，…，n）中至多有1個(gè)4，而且可以寫成2+2． …（10分）
④當(dāng)a_k（k=1，2，…，n）中有大于4的數(shù)時(shí)，不妨設(shè)a_i＞4，
因?yàn)閍_i＜2（a_i-2），
所以將a_i分解為2+（a_i-2）會使得分解積更大．              …（11分）
綜上所述，a_k（k=1，2，…，n）中只能出現(xiàn)2或3或4，且2不能超過2個(gè)，4不能超過1個(gè)．
于是，當(dāng)N=3m（m∈N^*）時(shí)，N=

3+3+…+3

m個(gè)

使得分解積最大； …（12分）
當(dāng)N=3m+1（m∈N^*）時(shí)，N=

3+3+…+3

(m-1)個(gè)

+2+2=

3+3+…+3

(m-1)個(gè)

+4使得分解積最大；                …（13分）
當(dāng)N=3m+2（m∈N）時(shí)，N=

3+3+…+3

m個(gè)

+2使得分解積最大．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，以及計(jì)算能力，屬于難題．