Question

【題目】已知函數(shù)g（x）=，f（x）=g'（x）-（a是常數(shù)）．若對a∈R，函數(shù)h（x）=kx（k是常數(shù)）的圖象與曲線y=f（x）總相切于一個定點．

（1）求k的值；

（2）若對∈（0，+∞），[f（）-h（）][f（）-h（）]＞0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) k=1 (2) （-∞，1]

【解析】

（1）由函數(shù)的圖像與曲線 總相切于定點可知的值是與 無關(guān)的常數(shù)，即可求出，再計算出切點坐標(biāo)得出切線方程，從而得到的值；

（2）設(shè)，由題可得恒成立或恒成立，化簡可得恒正或恒負(fù)，討論的值，計算的最值進(jìn)行判斷

解：（1）由已知得，．

可設(shè)函數(shù)的圖像與曲線 總相切于定點,

可得，且的值是與 無關(guān)的常數(shù)，因而，，進(jìn)而可求得切線方程為，得，所以，

（2）因為，所以可設(shè),

可得題設(shè)即，，則與同號，即恒成立或恒成立．

設(shè)，可得．

可得題設(shè)即：恒成立或恒成立；

①當(dāng)時，可得，所以是增函數(shù)，此時滿足題意，

②當(dāng)時，可得在上分別是減函數(shù)、增函數(shù)，

進(jìn)而可得題設(shè)恒成立．

取，下面判斷的正負(fù)：

設(shè)函數(shù)，可得，，是增函數(shù)，因而，是增函數(shù)；

故，∴，

說明時不滿足題意．

綜上所述，可得所求實數(shù)的取值范圍是．