Question

【題目】已知橢圓：過點(diǎn)，且以，為焦點(diǎn)，橢圓的離心率為.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）過左焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，問橢圓上是否存在點(diǎn)，使線段和線段相互平分?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）1；（2）存在使線段和相互平分，其坐標(biāo)為，或.

【解析】

(1)根據(jù)橢圓過點(diǎn),離心率以及,列方程組可得答案;

(2)假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理得到中點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)線段和線段相互平分,得到點(diǎn)的坐標(biāo),將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程即可得到答案.

解：（1）橢圓方程為（）過點(diǎn)，

.

，為橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，

，.解得，，

.

（2）由（1）有橢圓的方程為，.

假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，且和相交于點(diǎn).

則,,,

當(dāng)直線與軸重合時(shí)，不滿足題意.

設(shè)直線的方程為，，.

聯(lián)立得，

，.

則，，

將代入有.

解得，，或，

故存在使線段和相互平分，其坐標(biāo)為，或.