【題目】如圖,四棱錐的底面是正方形, 底面, ,點分別在棱上,且平面.

(1)求證:

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

(3)求二面角的余弦值

【答案】(1)見解析(2)(3)

【解析】試題分析:(1)先根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理得,再由,以及線面垂直判定定理得平面,即得,由平面,有,再由線面垂直判定定理得平面,即得;(2)因為平面,所以在平面內(nèi)的射影,延長交于點,則(即)與平面所成的角,解直角三角形得線面角正弦值.(3)以空間向量求角二面角,先建立空間直角坐標系,設立各點坐標,列方程組解平面法向量,由向量數(shù)量積得兩法向量夾角余弦值,最后根據(jù)二面角與兩法向量關系得結(jié)果

試題解析:(1)因為四邊形是正方形,所以

又因為底面,所以,故平面,

平面,則,

平面,有,則平面,

.

(2)如圖,延長交于點,因為平面

所以在平面內(nèi)的射影,故(即)與平面所成的角,

又因為, ,則有

中,

與平面所成角的正弦值為.

(3)分別以軸建立空間直角坐標系,

所以, ,設平面的法向量,

那么

,

,則,由(1)知,平面的法向量,

設所求二面角的大小為,且為銳角,所以,

所以二面角的余弦值為.

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