7.在平面直角坐標(biāo)系中,定義點P(x1,y1)、Q(x2,y2)之間的直角距離為L(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.
已知點A(x,1),B(1,2),C(5,3).
(1)若L(A,B)>L(A,C),求x的取值范圍;
(2)當(dāng)x∈R時,不等式L(A,B)≤t+L(A,C)恒成立,求t的最小值.

分析 (1)根據(jù)定義問題轉(zhuǎn)化為解不等式|x-1|-|x-5|>1,通過討論x的范圍,求出不等式的解集即可;
(2)分離參數(shù),問題轉(zhuǎn)化為t≥|x-1|-|x-5|-1恒成立,令f(x)=|x-1|-|x-5|,求出f(x)的最大值,從而求出t的最小值即可.

解答 解:(1)由定義得|x-1|+1>|x-5|+2,即|x-1|-|x-5|>1,
當(dāng)x≥5時,不等式化為4>1,解得x≥5;
當(dāng)1<x<5時,不等式化為2x-6>1,解得$\frac{7}{2}<x<5$;
當(dāng)x≤1時,不等式化為-4>1,無解;  故不等式的解集為$(\frac{7}{2},+∞)$
(2)當(dāng)x∈R時,不等式|x-1|+1≤t+|x-5|+2恒成立,也就是t≥|x-1|-|x-5|-1恒成立,
函數(shù)令$f(x)=|{x-1}|-|{x-5}|=\left\{{\begin{array}{l}{-4,x≤1}\\{2x-6,1<x≤5}\\{4,x>5}\end{array}}\right.$,所以f(x)max=4,
要使原不等式恒成立只要t≥3即可,故tmin=3.

點評 本題考查了解絕對值不等式問題,考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想,是一道中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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20.?dāng)?shù)列{an}中,若a1=$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{a_n}$+2,則這個數(shù)列的第20項為( 。
A.$\frac{2}{77}$B.40C.$\frac{1}{40}$D.$\frac{1}{39}$

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1.若(x2-$\frac{1}{x}$)n的二項展開式中的所有二項式系數(shù)和為64,則該二項式展開式中的常數(shù)項為( 。
A.20B.-15C.-20D.15

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