如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且．點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，PD=DB．

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．

(1)證明見解析;(2)．

解析試題分析：（1）先利用平面幾何知識(shí)與線面垂直的性質(zhì)證線線垂直，由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到線線垂直；（2）作出二面角的平面角，證明符合二面角的定義，再在三角形中求二面角的平面角,從而求出所求的二面角．
試題解析：(1)如圖,連接，

由知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
又∵為圓的直徑，
∴，
由知，，
∴為等邊三角形，從而．
∵點(diǎn)在圓所在平面上的正投影為點(diǎn)，
∴平面，又平面，
∴，
由得，平面，
又平面，
∴．
（2）方法1:（綜合法）如圖,過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接, 

由（1）知平面，
又∵平面，
∴，
又∵，
∴平面，
又∵平面，
∴，
∴為二面角的平面角．
由（Ⅰ）可知，，
∴，則，
∴在中，，
∴，即二面角的余弦值為．              
方法2:（坐標(biāo)法）以為原點(diǎn)，、和的方向分別為軸、軸和軸的正向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)，由，得，，，
∴，，，，
∴，

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖1，已知的直徑，點(diǎn)、為上兩點(diǎn)，且，，為弧的中點(diǎn)．將沿直徑折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直（如圖2）．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）在弧上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，試指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2，在底面ABC內(nèi)的射影O為底面△ABC的中心，如圖所示：

（1）聯(lián)結(jié)，求異面直線與所成角的大小；
（2）聯(lián)結(jié)、，求三棱錐C1－BCA1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，側(cè)棱AA1⊥面ABC，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，,.

（Ⅰ）求證：底面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小；
（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA面ABEF，且DA=1，AB//EF，，P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點(diǎn)．

（1）求證：PQ//平面BCE；
（2）求證：AM平面ADF；
（3）求二面角A-DF-E的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P—ABCD中，ABCD為平行四邊形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M為PB的中點(diǎn)，PA=AD=2.

（Ⅰ）求證：PD//平面AMC；
（Ⅱ）若AB=1，求二面角B—AC—M的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，SA底面ABCD，SA=AD，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，ANSC且交SC于點(diǎn)N．

（Ⅰ）求證：SB∥平面ACM；
（Ⅱ）求證：平面SAC平面AMN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐，底面是平行四邊形，點(diǎn)在平面上的射影在邊上，且，．

（Ⅰ）設(shè)是的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在棱上，且．求的值．

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