Question

已知雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點(diǎn)(3，

7

)在雙曲線(xiàn)C上．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）已知Q（0，2），P為雙曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M滿(mǎn)足

QM

=

MP

，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）過(guò)點(diǎn)Q（0，2）的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OEF的面積為2

2

，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析：（1）依題意，由a²+b²=4，得雙曲線(xiàn)方程為

x2

a2

-

y2

4-a2

=1（0＜a²＜4），將點(diǎn)（3，

7

）代入上式，能求出雙曲線(xiàn)方程．
（2）設(shè)M（x，y）由題意M為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)，則P（2x，2y-2），由此能得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．
（3）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+2，代入雙曲線(xiàn)C的方程并整理，得（1-k²）x²-4kx-6=0．直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，所以

1-k2≠0 △=(-4k)2+4×6(1-k2)＞0

，由此能求出滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l有兩條，其方程分別為y=

2

x+2和y=-

2

x+2．

解答：解：（1）依題意，由a²+b²=4，
得雙曲線(xiàn)方程為

x2

a2

-

y2

4-a2

=1（0＜a²＜4），
將點(diǎn)（3，

7

）代入上式，得

9

a2

-

7

4-a2

=1．
解得a²=18（舍去）或a²=2，
故所求雙曲線(xiàn)方程為

x2

2

-

y2

2

=1．…（4分）
（2）設(shè)M（x，y），
∵點(diǎn)M滿(mǎn)足

QM

=

MP

，
∴M為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)，
∵Q （0，2），
∴P（2x，2y-2），…（6分）
把點(diǎn)P（2x，2y-2）代入雙曲線(xiàn)方程為

x2

2

-

y2

2

=1，
得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程：2x²-2（y-1）²=1．…．（8分）
（3）依題意，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+2，
代入雙曲線(xiàn)C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，
∴

1-k2≠0 △=(-4k)2+4×6(1-k2)＞0

，
∴k∈（-

3

，-1）∪（1，

3

）．…（10分）
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則由①式得x₁+x₂=

4k

1-k2

，x₁x₂=-

6

1-k2

，
于是|EF|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

，
而原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離d=

2

1+k2

，
∴S_△OEF=

1

2

d•|EF|
=

1

2

•

2

1+k2

•

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

=

2 2 3-k2

|1-k2|

．…（13分）
若S_△OEF=2

2

，
即

2 2 3-k2

|1-k2|

=2

2

，
∴k⁴-k²-2=0，
解得k=±

2

，
滿(mǎn)足②．故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l有兩條，
其方程分別為y=

2

x+2和y=-

2

x+2．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算量大，容易出錯(cuò)．