Question

14．過(guò)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右焦點(diǎn)F作該雙曲線一條漸近線的垂線交此漸近線于點(diǎn)M，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OFM的面積是$\frac{1}{2}{a^2}$，則該雙曲線的離心率是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 依題意，可求得過(guò)F（c，0）與一條漸近線bx-ay=0垂直的直線與bx-ay=0的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用△OFM的面積是$\frac{1}{2}{a^2}$即可求得此雙曲線的離心率

解答 解：設(shè)過(guò)F（c，0）與一條漸近線bx-ay=0垂直的直線為l，則l的方程為：y=-$\frac{a}$（x-c），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$得：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，y=$\frac{ab}{c}$，即M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
∵△OAF的面積為$\frac{1}{2}$a²，
∴$\frac{1}{2}$|OF|×y_A=$\frac{1}{2}$c×$\frac{ab}{c}$=$\frac{1}{2}$a²，
∴b=a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)，求得M的坐標(biāo)是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與方程思想，屬于中檔題．