【題目】已知四棱錐的底面是正方形,底面.
(1)求證:直線平面;
(2)當(dāng)的值為多少時,二面角的大小為?
【答案】(1)證明見解析;(2)1.
【解析】分析:(1)由線面垂直的性質(zhì)可得,由正方形的性質(zhì)可得,由線面垂直的判定定理可證平面;(2)設(shè),以為原點,,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),分別利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組,求出平面的法向量與平面的法向量,由空間向量夾角余弦公式列方程可得結(jié)果.
詳解:(1)證明:∵平面,平面,∴,
∵四邊形是正方形,∴,,∴平面.
(2)解:設(shè),以為原點,,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,為計算方便,不妨設(shè),則,,,,
則,,.
設(shè)平面的法向量為,則,
令,則,,∴.
設(shè)平面的法向量為,,
令,又,則,∴.
要使二面角的大小為,必有,
∴,∴,∴.
即當(dāng)時,二面角的大小為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某同學(xué)用收集到的6組數(shù)據(jù)對制作成如圖所示的散點圖(點旁的數(shù)據(jù)為該點坐標(biāo)),并由最小二乘法計算得到回歸直線的方程:,相關(guān)系數(shù)為,相關(guān)指數(shù)為;經(jīng)過殘差分析確定點為“離群點”(對應(yīng)殘差過大的點),把它去掉后,再用剩下的5組數(shù)據(jù)計算得到回歸直線的方程:,相關(guān)系數(shù)為,相關(guān)指數(shù)為.則以下結(jié)論中,不正確的是( )
A. , B. ,
C. D.
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【題目】如圖,四邊形為梯形,平面,,
為中點.
(1)求證:平面平面;
(2)線段上是否存在一點,使平面?若存在,找出具體位置,并進行證明:若不存在,請分析說明理由.
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【題目】已知直線是拋物線的準(zhǔn)線,直線,且與拋物線沒有公共點,動點在拋物線上,點到直線和的距離之和的最小值等于2.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)點在直線上運動,過點做拋物線的兩條切線,切點分別為,在平面內(nèi)是否存在定點,使得恒成立?若存在,請求出定點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖是某市年月日至日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖,某人隨機選擇年月日至月日中的某一天到達該市,并停留天.
(1)求此人到達當(dāng)日空氣質(zhì)量指數(shù)大于的概率;
(2)設(shè)是此人停留期間空氣質(zhì)量指數(shù)小于的天數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?(結(jié)論不要求證明)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)a>1,若對任意x1 , x2∈(0,+∞),恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a,連接A′C′,A′D,A′B,BD,BC′,C′D,得到一個三棱錐.求:
(1)三棱錐A′-BC′D的表面積與正方體表面積的比值;
(2)三棱錐A′-BC′D的體積.
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【題目】如圖,一張坐標(biāo)紙上已作出圓及點,折疊此紙片,使與圓周上某點重合,每次折疊都會留下折痕,設(shè)折痕與直線的交點為,令點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若直線與軌跡交于、兩點,且直線與以為直徑的圓相切,若,求的面積的取值范圍.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線過點,其參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線與相交于,兩點,求的值.
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