Question

已知f（x）=2mx²-2（4-m）x+1，g（x）=mx，若同時(shí)滿足條件：
①?x∈R，f（x）＞0或g（x）＞0；
②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對m討論，分m=0，m＜0，m＞0，分別考慮兩個(gè)條件是否成立，顯然m≤0不成立，m＞0時(shí)，考慮二次函數(shù)的判別式小于0，再對x＜-4，討論二次函數(shù)的單調(diào)性，求得f（-4）＞0恒成立，即可得到m的范圍．

解答： 解：當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=1-8x，g（x）=0，則不滿足條件①②；
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）＞0不恒成立，則①知，必須f（x）＞0恒成立，但f（x）的圖象開口向下，故不成立；
當(dāng)m＞0時(shí)，要滿足①，則必須f（x）＞0恒成立，即有判別式4（4-m）²-8m＜0，解得2＜m＜8，
當(dāng)x＜-4時(shí)，g（x）＜0，由于f（x）的對稱軸為x=

4-m

2m

=

2

m

-

1

2

＞-

1

2

，則（-∞，-4）為減區(qū)間，
f（-4）=2m•16+8（4-m）+1=33+24m＞0，即有②成立．
綜上可得，2＜m＜8．
故答案為：（2，8）．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查二次不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題，注意結(jié)合圖象和判別式，同時(shí)考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．